Определение логической функции

Логическая функция от n переменных x₁, x₂, …, x_n – это функция, которая может принимать только два значения 0 или 1.

Каждая переменная может принимать только два значения. Следовательно имеется 2ⁿ возможных комбинаций n переменных.

Логическая функция будет определена, если известно ее значение для каждой из 2ⁿ возможных комбинаций. Она может быть представлена с помощью соответствующей таблицы истинности.

Рассмотрим, например функцию трех переменных f(x,y,z). Функция f(x,y,z) будет определена, если будут заданы ее значения (0 или 1) для каждой из восьми комбинаций таблицы:

x	y	z	f

Следует отметить, что имеется 2^N способов присвоить значения 0 или 1 функции для N комбинаций переменных. Поскольку N=2ⁿ, то, следовательно, существует различных функций n переменных.

Логические функции одной переменной

Существует логических функций одной переменной. Обозначим эти 4 функции как f₀ - f₃. Значение индекса функции равно значению ее двоичного представления в соответствующей колонке таблицы истинности:

x	f0	f1	f2	f3

Функции f₀ и f₃ – это константные функции, равные нулю и единице независимо от значения аргумента x и называются они: конституанта нуля и конституанта единица соответственно.

Функция f₁ совпадает с аргументом x: f₁(x) = x.

Функция f₂ противоположна значению аргумента: f₂(x) = . Эту функцию называют “ инверсия ”, “отрицание” или же функция НЕ.

Логические функции двух переменных

Имеется логических функций двух переменных. Определения этих функций, обозначенных от f₀ до f₁₅, даны в нижеследующей таблице.

Функции f₀ и f₁₅ – конституанты 0 и 1 соответственно.

Функция f₃ не зависит от y и равна x (f₃(x,y) = x).

Функция f₅ не зависит от x и равна y (f₅(x,y) = y).

Функция f₁₀ не зависит от x и является отрицанием переменной y (f₁₀(x,y) = ).

Функция f₁₂ не зависит от y и является отрицанием переменной x (f₁₂(x,y) = ).

Оставшиеся функции являются функциями, непосредственно зависящими от двух переменных x и y. Среди них можно выделить наиболее часто употребляемые функции f₁ и f₇.

x
y
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
f14
f15

Функция f₁ принимает истинное значение (значение 1), если и только если оба аргумента одновременно являются истинными (x=1 и y=1). Ее называют “конъюнкция”, или же “ функция логического умножения ”, или же “ функция И ” и обозначают обычно как f(x,y) = xy.

Функция f₇ принимает значение 1, если хотя бы один из аргументов x = 1 или y = 1. Ее называют “ дизъюнкция”, или же “функция логического сложения”, или же “ функция ИЛИ ” и обозначают обычно как f₇(x,y) = x + y.

Функция f₆(x,y) = Это функция “ исключающее ИЛИ ” (f₆(x,y) = 1, если x = 1 или y = 1, но не одновременно). Еще ее называют “ сумма по модулю 2 ”, или же “ функция несовпадения ”. Операция, которая соответствует этой функции, часто обозначается в виде

Функция f₉(x,y) = Это функция “ логической идентичности ” или же “ функция совпадения ”. (f₉(x,y) = 1, если x и y имеют одинаковые значения). Ее иногда обозначают как или ~ .

Функция f₈(x,y) = Это “ функция НИ ” (f₈(x,y) = 1, если ни x ни y не равны 1), или же функция “ стрелка Пирса ”, обозначаемая иногда как ↑ .

Функция f₁₄(x,y) = Это функция “ логической несовместимости ” (f₁₄(x,y) = 1, если x и y одновременно не равны 1), или же функция “ штрих Шеффера ”, обозначаемая иногда как / .

Функция f₂(x,y) = Она называется “ функция запрещения ” (f₂(x,y) = 1, если x = 1 и y = 0), иногда обозначаемая как

Функция f₄(x,y) = Она называется “ функция запрещения ” (f₄(x,y) = 1, если x = 0 и y = 1), иногда обозначаемая как

Функция f₁₁(x,y) = Это функция “ вовлечения ” или “ следования ” (f₁₁(x,y) = 1 для всех комбинаций аргументов, кроме x = 0 и y = 1), обозначаемая иногда как или

Функция f₁₃(x,y) = Это функция “ вовлечения ” или “ следования ” (f₁₃(x,y) = 1 для всех комбинаций аргументов, кроме x = 1 и y = 0), обозначаемая иногда как или

Основные операции Булевой алгебры

На практике определяют некоторое число основных операций, с помощью которых можно описать все остальные операции. Такие операции называются функционально полным набором. Среди всех наборов обычно выделяют один, состоящий из трех операций: логическая инверсия, логическое сложение и логическое умножение.

Операция инверсии

Результат операции инверсии обозначают, добавляя черту над переменной x. f(x) = . Таблица истинности этой функции имеет следующий вид:

На структурных схемах данную логическую функцию обозначают с помощью следующего символа:

Логическое сложение

Операция логического сложения, соответствующая функции ИЛИ, выдает в качестве результата значение, называемое логической суммой. В выражениях для этой операции приняты следующие обозначения: или . Таблица определения или таблица истинности этой операции имеет вид:

На схемах эта функция обозначается с помощью символов: или

Логическое умножение

Логическое умножение соответствует функции И, и выдает в качестве результата значение, называемое логическим произведением. В выражениях для этой операции приняты следующие обозначения: , или , или же . Таблица определения или таблица истинности этой операции имеет вид:

На схемах эта функция обозначается с помощью символов: или