Правило перевода дробных чисел




ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Правило перевода дробных чисел



Отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Результаты складываются.

Пример 15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.

Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:

19,847 = 19 + 0,847.

Как следует из примера 2, 19 = 1316; а в соответствии с примером 9 0,847 = 0,D8D16.

Тогда имеем:

19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16.

Таким образом, 19,847 = 13,D8D16.

 

1.5 Правила выполнения простейших арифметических действий

Арифметические операции для двоичных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел, которые хорошо знакомы читателю. Рассмотрим на примерах выполнение таких арифметических операций, как сложение, вычитание, умножение и деление для целых чисел.

 

Правила сложения

Пример 16. Сложить двоичные числа 11012 и 110112.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 5 4 3 2 1

+ 1 1 0 12

1 1 0 1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 02 + 12 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 12 + 02 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 + 12 = 112, где третья 12 – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

+ 1 1 0 12

1 1 0 1 12

10 1 0 0 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;

110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 17. Сложить шестнадцатеричныечисла 1С16 и 7В16.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

+ 1 С16

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а) разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 – единица переноса.

 

Таким образом:

+ 1 С16

7 В16

9 716.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;

16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;

9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

 

Правила вычитания

Вычесть из двоичного числа 1012 двоичноечисло 112.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

- 1 0 12

1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 – 12 = 02;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 102 – 12 = 12;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:

- 1 0 12

1 12

1 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По табл. 4.1 имеем:

1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 19. Вычесть из шестнадцатеричногочисла 9716 шестнадцатеричноечисло 7В16.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов: 2 1

- 9 716

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 716 < В16 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 – В16 = 23 – 11 = 12 = С16;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 816 – 716 = 116.

Таким образом:

- 9 716

7 В16

1 С16.

Для проверки результата используем данные из примера 17.

 

Правила умножения

Пример 20. Умножить двоичноечисло 1012 на двоичное число 112.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

* 1 0 12

1 12

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 4.1):

1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.

Пример 21. Умножить шестнадцатеричноечисло 1С16 на шестнадцатеричноечисло 7В16.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

* 1 С16

7 В16

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 7016 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования полного значения числа:

16 = 28; 7В16 = 123;

D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.

Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.

Пример 22. Разделить двоичноечисло 11112 на двоичноечисло 112.

Решение задачи представим схемой:

-11112 112

112 1012

-0112

112

02

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.

 

2 Задание

Выполнить подробные (как в примерах теоретической части; если применяются формулы, то указать какие с полным их описанием) переводы и арифметические действия над числами, выбранными в соответствии с вариантом задания:

1) Перевод целого числа A из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатеричную.

2) Перевод целых чисел B и С из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления соответственно – в десятичную.

3) Перевод целого числа B из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

4) Перевод целого числа C из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

5) Перевод правильной дроби (1/A+0.68) (округление до 4-ого знака) из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатеричную. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

6) Перевод правильных дробей D и E из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления соответственно – в десятичную.

7) Перевод правильной дроби D из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

8) Перевод правильной дроби E из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

9) Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа, целая часть которого равна (A+A), а дробная − 3*A. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

10) Сложить двоичные числа B и 110(B). Проверить результат.

11) Сложить шестнадцатеричные числа C и 7(C). Проверить результат.

12) Вычесть из двоичного числа (B)1110двоичное число B. Проверить результат.

13) Вычесть из шестнадцатеричного числа (C)987шестнадцатеричное число C. Проверить результат.

14) Умножить двоичное число B на двоичное число 110(B). Проверить результат.

15) Умножить шестнадцатеричное число C на шестнадцатеричное число 7(C). Проверить результат.

 

3 Содержание отчета

1) Сформулировать задание в соответствие с вариантом (подробно).

2) Выполнить подробно все переводы, арифметические действия над числами и проверки, описанные в задании, выделяя каждый отдельно.


 

4 Варианты задания

 

Номер варианта A B C D E
0,1010011 0,110A
1F 0,1110010 0,1FA
2E 0,1010101 0,2EB
3D 0,1100110 0,3DC
4C 0,1111111 0,4CD
5B 0,1011100 0,5BE
6A 0,1000001 0,6AF
8F 0,1011110 0,8F10
9E 0,1000011 0,9E1
10D 0,1110000 0,10D2
11C 0,1101101 0,11C3
12B 0,1010000 0,12B4
13A 0,1001111 0,13A5
14F 0,1010000 0,14F6
15E 0,1100101 0,15E7
16D 0,1101010 0,16D8
17C 0,1101111 0,17C9

5 Список литературы

1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение.— М.: МЦНМО, 2004. г.

2. Топоркова О.М. Информатика: Учебн. пособ. – Калининград: КГТУ, 2001.

3. Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987 г.


 





Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.70.175 (0.011 с.)