Правило перевода дробных чисел

Отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. Результаты складываются.

Пример 15. Выполнить перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр после запятой.

Представим исходное число как сумму целого числа и правильной дроби:

19,847 = 19 + 0,847.

Как следует из примера 2, 19 = 13₁₆; а в соответствии с примером 9 0,847 = 0,D8D₁₆.

Тогда имеем:

19 + 0,847 = 13₁₆ + 0,D8D₁₆ = 13,D8D₁₆.

Таким образом, 19,847 = 13,D8D₁₆.

 

1.5 Правила выполнения простейших арифметических действий

Арифметические операции для двоичных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел, которые хорошо знакомы читателю. Рассмотрим на примерах выполнение таких арифметических операций, как сложение, вычитание, умножение и деление для целых чисел.

 

Правила сложения

Пример 16. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 5 4 3 2 1

₊ 1 1 0 1₂

1 1 0 1 1₂

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 0₂ + 1₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 1₂ + 0₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂, где третья 1₂ – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

₊ 1 1 0 1₂

1 1 0 1 1₂

10 1 0 0 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;

11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 17. Сложить шестнадцатеричные числа 1С₁₆ и 7В₁₆.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

₊ 1 С₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а) разряд 1 формируется следующим образом: С₁₆ + В₁₆ = 12 + 11 = 23 = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

 

Таким образом:

₊ 1 С₁₆

7 В₁₆

9 7₁₆.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

 

Правила вычитания

Вычесть из двоичного числа 101₂ двоичное число 11₂.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

_- 1 0 1₂

1 1₂

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ – 1₂ = 0₂;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10₂ – 1₂ = 1₂;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

Таким образом:

_- 1 0 1₂

1 1₂

1 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По табл. 4.1 имеем:

101₂ = 5; 11₂ = 3; 10₂ = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 19. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число 7В₁₆.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 

номера разрядов: 2 1

_- 9 7₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7₁₆ < В₁₆ и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = 23 – 11 = 12 = С₁₆;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом:

_- 9 7₁₆

7 В₁₆

1 С₁₆.

Для проверки результата используем данные из примера 17.

 

Правила умножения

Пример 20. Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

_* 1 0 1₂

1 1₂

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 10₂ = 1010₂. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 4.1):

101₂ = 5; 11₂ = 3; 1111₂ = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пример 21. Умножить шестнадцатеричное число 1С₁₆ на шестнадцатеричное число 7В₁₆.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

_* 1 С₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 70₁₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = D74₁₆.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 17 и правилами формирования полного значения числа:

1С₁₆ = 28; 7В₁₆ = 123;

D74₁₆ = 13*16² + 7*16¹ + 4*16⁰ = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆.

Правила деления

Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.

Пример 22. Разделить двоичное число 1111₂ на двоичное число 11₂.

Решение задачи представим схемой:

_-1111₂ 11₂

11₂ 101₂

_-011₂

11₂

0₂

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 20. Они показывают, что деление выполнено верно: 1111₂ / 11₂ = 101₂.

 

2 Задание

Выполнить подробные (как в примерах теоретической части; если применяются формулы, то указать какие с полным их описанием) переводы и арифметические действия над числами, выбранными в соответствии с вариантом задания:

1) Перевод целого числа A из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатеричную.

2) Перевод целых чисел B и С из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления соответственно – в десятичную.

3) Перевод целого числа B из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

4) Перевод целого числа C из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

5) Перевод правильной дроби (1/A+0.68) (округление до 4-ого знака) из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатеричную. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

6) Перевод правильных дробей D и E из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления соответственно – в десятичную.

7) Перевод правильной дроби D из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

8) Перевод правильной дроби E из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

9) Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную числа, целая часть которого равна (A+A), а дробная − 3*A. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.

10) Сложить двоичные числа B и 110(B). Проверить результат.

11) Сложить шестнадцатеричные числа C и 7(C). Проверить результат.

12) Вычесть из двоичного числа (B)1110двоичное число B. Проверить результат.

13) Вычесть из шестнадцатеричного числа (C)987шестнадцатеричное число C. Проверить результат.

14) Умножить двоичное число B на двоичное число 110(B). Проверить результат.

15) Умножить шестнадцатеричное число C на шестнадцатеричное число 7(C). Проверить результат.

 

3 Содержание отчета

1) Сформулировать задание в соответствие с вариантом (подробно).

2) Выполнить подробно все переводы, арифметические действия над числами и проверки, описанные в задании, выделяя каждый отдельно.

 

4 Варианты задания

 

Номер варианта	A	B	C	D	E
				0,1010011	0,110A
			1F	0,1110010	0,1FA
			2E	0,1010101	0,2EB
			3D	0,1100110	0,3DC
			4C	0,1111111	0,4CD
			5B	0,1011100	0,5BE
			6A	0,1000001	0,6AF
			8F	0,1011110	0,8F10
			9E	0,1000011	0,9E1
			10D	0,1110000	0,10D2
			11C	0,1101101	0,11C3
			12B	0,1010000	0,12B4
			13A	0,1001111	0,13A5
			14F	0,1010000	0,14F6
			15E	0,1100101	0,15E7
			16D	0,1101010	0,16D8
			17C	0,1101111	0,17C9

5 Список литературы

1. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение.— М.: МЦНМО, 2004. г.

2. Топоркова О.М. Информатика: Учебн. пособ. – Калининград: КГТУ, 2001.

3. Фомин С.В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987 г.