Расчетно-графическая работа №1

Тема: «Системы счисления».

1 Теоретическая часть

1.1 Виды сигнала

Сигнал может быть дискретным и непрерывным (аналоговым).

Дискретный сигнал слагается из счетного множества (т.е. такого множества, элементы которого можно пересчитать) элементов (говорят – информационных элементов).

Например, дискретным является сигнал «кирпич». Он состоит из следующих двух элементов (это синтаксическая характеристика данного сигнала): красного кольца на белом фоне, красного прямоугольника внутри кольца.

Именно в виде дискретного сигнала представлена та информация, которую сейчас осваивает читатель. Можно выделить следующие ее элементы: разделы (например, «Теоретическая часть»), подразделы (например, «Виды сигнала»), абзацы, предложения, отдельные фразы, слова и отдельные знаки (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.).

Последний пример показывает, что в зависимости от прагматики информации можно выделять разные информационные элементы.

Набор самых «мелких» элементов дискретного сигнала называется алфавитом, а сам дискретный сигнал называют также сообщением.

Непрерывный сигнал – отражается некоторой физической величиной, изменяющейся в заданном интервале времени. В виде непрерывного сигнала представлена настоящая информация для тех студентов – потребителей, которые посещают лекции по информатике и через звуковые волны (иначе говоря, голос лектора), носящие непрерывный характер, воспринимают материал.

Как мы увидим в дальнейшем, дискретный сигнал лучше поддается преобразованиям, поэтому имеет преимущества перед аналоговым. В то же время, в технических системах преобладает аналоговый сигнал.

 

1.2 Преобразования сигнала

Для преобразования аналогового сигнала в дискретный используется процедура, которая называется квантованием. Различают два вида квантования – по времени и по уровню (дискретизацию).

Квантование по времени – замена непрерывной (по времени и по уровню) функции x(t) (рис. 4.1а) некоторым множеством непрерывных (по уровню) функций x(t_i) (на рис. 1б i = {1,2,3,4}).

x x

x (t₃) x (t₃)

x (t₂) x (t₄) x (t₂) x (t₄)

x (t₁) x (t₁)

x (t)

t₁ t₂ t₃ t₄ t t₁ t₂ t₃ t₄ t

а) б)

Рис. 4.1. Иллюстрация к квантованию по времени:

а) аналоговый сигнал x (t) до квантования;

б) дискретный (по времени) сигнал x (t) – результат квантования.

 

Очевидно, дискретизация связана с потерей информации. В самом деле, дискретный сигнал на рис. 1б не показывает, как ведет себя исходный сигнал в моменты времени, например, между t₃ и t₄. Иначе говоря, дискретизация связана с некоторой погрешностью e, которая зависит от шага дискретизации Dt = t_i – t_i-1: при малых значениях шага дискретизации число точек замера высоко, и теряется мало информации; очевидно, картина обратная при больших шагах дискретизации. Погрешность дискретизации e в каждый момент времени t определяется по формуле:

e(t) = x (t) – v(t), (1.1)

где v(t) – функция восстановления, которая по дискретным значениям восстанавливает x (t).

Виды дискретизации различаются по регулярности отсчетов:

1) равномерная дискретизация, когда Dt постоянно;

2) неравномерная дискретизация, когда Dt переменно, причем этот вид, в свою очередь, делится на подвиды:

- адаптивную, когда Dt меняется автоматически в зависимости от текущего изменения сигнала. Это позволяет увеличивать шаг дискретизации, когда изменения сигнала x (t) незначительны, и уменьшать – в противном случае;

- программируемую, когда Dt изменяется оператором или в соответствии с заранее выставленными условиями, например, в фиксированные моменты времени.

Квантование по уровню - преобразование непрерывных (по уровню) сигналов x (t_i) в моменты отсчета t_i в дискретные. В результате непрерывное множество значений сигнала x (t_i) в диапазоне от x_min до x_max преобразуется в дискретное множество значений x_k – уровней квантования (рис. 4.2). Шаг квантования D x определяется по формуле:

D x = x_j – x_j-1.

Можно сказать, что квантование по уровню – это измерение сигнала. В самом деле, по рис. 4.2б видно, что сигнал x (t₁) составляет 0 уровней квантования (k = 0), а сигнал x (t₄) – 2 уровня квантования (k = 2).

x (t) x (t)

x 2

x (t₃) x _max x (t₃)

x min

x 1

x (t₂) x (t₄) x (t₂) x (t₄)

x (t₁) x (t₁)

t₁ t₂ t₃ t₄ t t₁ t₂ t₃ t₄ t

а) б)

Рис. 4.2. Иллюстрация к квантованию по уровню:

а) аналоговые по уровню (но дискретные по времени) сигналы x (t_i) до квантования;

б) квантованные по уровню сигналы x (t_i).

 

При квантовании по уровню не всегда сигнал x (t_i) совпадает с уровнем квантования (см. сигнал x (t₂) на рис. 4.2б). В таком случае поступают одним из следующих способов:

1) x (t_i) отождествляют с ближайшим значением (в нашем примере – с x ₂);

2) x (t_i) отождествляют с ближайшим меньшим (или большим) значением. Тогда при отождествлении с ближайшим большим значением сигнал x (t₂) отождествится с x ₂ независимо от того, насколько близко он к этому уровню квантования находится. При отождествлении с ближайшим меньшим значением сигнал x (t₂) отождествится с x ₁ также независимо от того, насколько близко он к этому уровню квантования находится.

Очевидно, и при квантовании по уровню возникает погрешность квантования e(x _k):

e(x _k) = x (t_i) - x _k. (1.2)

Погрешность квантования по уровню тем меньше, чем меньше шаг квантования.

Виды квантования по уровню:

1) равномерное, когда диапазон изменения сигнала разбивается на m одинаковых частей. Тогда, зная размер шага квантования, для представления x _k достаточно знать число k.

2) неравномерное, когда диапазон изменения сигнала разбивается на m различных частей.

 

1.3 Системы счисления

Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал подвергается кодированию. Большинство кодов основано на системах счисления, причем использующих позиционный принцип образования числа, при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.

Примером позиционной формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т.е. просто три), а во втором – три сотни (т.е. триста).

 

 

Тогда полное число получается по формуле:

(1.3)

где l – количество разрядов числа,

i – порядковый номер разряда,

m – основание системы счисления,

a_i – множитель, принимающий любые целочисленные значения от 0 до m -1, и соответствующий цифре в i -й позиции числа.

Например, для десятичного (m = 10) числа 345 его полное значение рассчитывается по формуле:

3*10² + 4*10¹ + 5*10⁰ = 345.

Римские числа являются примером полупозиционной системы образования числа: так, в числах IX и XI знак I обозначает в обоих случаях единицу (признак непозиционной системы), но будучи расположенным слева от знака X (обозначающего десять), вычитается из десяти, а при расположении справа – прибавляется к десяти. В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.

В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.

Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.

Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в табл. 4.1.

 

Таблица 4.1

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
		A
		B
		C
		D
		E
		F

 

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

- для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В или b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 10₂ = 10_b = 10_B = 10B = 10b;

- для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H или h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак H или h справа от числа. Например, 3AB₁₆ = 3AB_H = 3AB_h = 3ABH = 3ABh.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила.

 

1.4 Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Правила перевода различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь (дробь, знаменатель которой больше числителя (например, ¹/₂, ⁵/₆ и т.д.)). Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.