Тема: «Расчет числовых характеристик графов».

1 Теоретическая часть

Пусть задан граф G (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 ― Граф G

Расчет количества вершин n(G) графа G

Расчет выполняется методом визуального анализа графа G. В итоге расчета имеем:

 

Расчет количества ребер m(G) графа G

Расчет выполняется методом визуального анализа графа G. В итоге расчета имеем:

 

Расчет степеней вершин δ_i графа G.

Расчет выполняется методом визуального анализа графа G с целью определения количества ребер (дуг) инцидентных вершине x_i. Результаты расчета сведены в таблицу 6.1.

 

Таблица 6.1 - Результаты расчета степеней вершин графа G

xi	δi

 

Расчет числа компонент связности æ(G)

Для расчета числа компонент связности графа G вычисляют матрицу достижимости ||Q^p|| и определяют полные подграфы графа. Для построения матрицы достижимости удобно воспользоваться матрицей смежности графа G:

 

где ||1|| - единичная матрица (рисунок 6.2),

||H(x_i)|| - матрица смежности графа G,

||H^p(x_i)|| - матрица смежности графа G, возведенная в p -ую степень.

 

Рисунок 6.2 ― Единичная матрица для графа G

Для возведения в степень матрицы смежности используют правило умножения булевых матриц.

На рисунке 6.3 правило умножения булевых матриц прокомментировано графически.

 

 

Первая строка на второй столбец

Обозначения: - дизъюнкция (см. таблицу истинности в [1]); - конъюнкция (см. таблицу истинности в [1])

Рисунок 6.3 ― Пример умножения булевых матриц 4х4

 

Построим матрицы смежности графа G (рисунок 6.4).

H

 

Рисунок 6.4 ― Матрица смежности ||H|| графа G

 

Возведем матрицу смежности ||H|| в квадрат, т.е. умножим ее саму на себя. Получим ||H²|| (рисунок 6.5).

H^2

 

 

Рисунок 6.5 ― Матрица ||H²|| графа G

 

Возведем матрицу смежности ||H|| в третью степень. Получим ||H³|| (рисунок 6.6).

 

H^3

 

Рисунок 6.6 ― Матрица ||H³|| графа G

 

Анализ матриц ||H²|| и ||H³|| показывает, что никаких изменений в ||H³|| по сравнению ||H²|| нет. Значит процесс вычислений завершен.

Матрица достижимости ||Q³|| (рисунок 6.7) рассчитывается следующим образом:

 

 

Q^2

 

 

Рисунок 6.7 ― Матрица ||Q²|| графа G

 

Поскольку матрица ||Q²|| содержит два блока: один – 3х3 элемента, другой – 6х6 элементов, то граф G содержит два связных подграфа:

	G1=<X1, H1>, G2=<X2, H2>,

 

 

где X₁={x₁,x₂,x₃}, X₂={x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉}.

Таким образом, для исходного графа G=<X,H> число компонент связности равно æ(G)=2.

 

Расчет цикломатического числа λ(G) графа G

Рассчитаем цикломатическое число графа G, т.е. наименьшее число ребер, удаление которых приведет к графу без циклов и петель.

Расчет выполним по формуле:

	.

 

В качестве примера удалим на графе G четыре ребра (1,3), (4,5), (5,6), (8,9). Получим граф на рисунке 6.8.

 

Рисунок 6.8 ― Граф без циклов и петель

 

 

Расчет хроматического числа γ(G) графа G

Рассчитаем хроматическое число графа G, т.е. наименьшее число красок при применении которых для раскраски вершин графа две любые смежные вершины графа G, не будут окрашены в один цвет.

Для выполнения расчета воспользуемся двумя оценочными соотношениями. Одно из них задает левую границу для γ(G), min возможное значение γ(G), т.е. γ_min(G):

 

1) полный n -вершинный граф имеет γ_min(G)=n;

2) пустой граф имеет γ_min(G)=1;

3) граф с циклом (т.е. хотя бы одним) четной длины имеет γ_min(G)=2;

4) граф с циклом нечетной длины имеет γ_min(G)=3;

5) граф-дерево имеет γ_min(G)=2.

Другое оценочное соотношение задает правую границу для γ(G), max необходимое значение γ(G), т.е. γ_max(G):

.

 

Начинаем проверку с вычисления γ_min(G). Поскольку в графе G есть цикл нечетной длины пробуем раскрасить граф тремя красками (рисунок 6.9).

Рисунок 6.9 ― Раскраска графа G синей, желтой и красной красками

 

Вывод: трех красок, т.е. γ_min(G) =3 оказалось достаточно:

 

.

 

Если бы трех красок оказалось недостаточно, следовало бы γ_min(G) увеличить на единицу и повторить раскраску заново. И так далее, до получения желаемого результата. Однако таких красок не должно быть больше чем γ_max(G).

 

Расчет плотности (G) графа G

Рассчитаем плотность графа G, т.е. наибольшее число вершин подграфа графа G, между всеми вершинами которого задано отношение смежности.

Получим матрицы смежности ||H|| и достижимости ||Q|| графа G (рисунок 6.10).

 

	H		Q

 

 

 

Рисунок 6.10 ― Матрицы ||H|| и ||Q|| графа G

 

В матрице | | Q|| сформируем блоки, используя метод визуального анализа и перестановок строк (т.е. стоки меняются местами) и перестановок столбцов (т.е. столбцы меняются местами). В итоге получим матрицу ||Q|| на рисунке 6.11.

Q

 

Рисунок 6.11 ― Матрица || Q || с тремя выделенными блоками

 

Анализ матрицы || Q || на рисунке 6.11 показывает, что поскольку число блоков равно трем, то имеем три полных подграфа G с тремя вершинами в каждом (1-ый блок: 3х3, 2-ой блок: 3х3, 3-ий блок: 2х2). Иными словами, |Х`<sub>1</sub>|=3, |Х`₂|=3, |Х`₃|=2 (рисунок 6.12).

Рисунок 6.12 ― Три подграфа графа G

Обозначения: пунктиром выделены полные подграфы графа G.

 

Таким образом имеем:

.

Расчет неплотности ε(G) графа G

Рассмотрим плотность графа G, т.е. наибольшее число вершин пустого подграфа графа G между всеми вершинами которого нет отношений смежности.

Построим обратный граф ┐ G для графа G. Для этого получим матрицу || H || и обратную ей матрицу || ┐ H || (рисунок 6.13).

	H		┐ H

 

 

Рисунок 6.13 ― Матрицы смежности (слева-направо) графа G и графа ┐ G

 

Строим матрицу достижимости графа ┐ G и выполняем операцию перестановки строк и столбцов. Результаты показаны на рисунке 6.14.

┐ Q^p

	┐ Q^p

 

 

Рисунок 6.14 ― Матрицы достижимости ┐ Q^p графа ┐ G

Примечание: матрица на рисунке справа имеет блочную структуру.

 

На рисунке 6.15 показан обратный граф ┐ G.

 

Рисунок 6.15 - Обратный граф ┐ G

 

Анализ матрицы ┐ Q^p с блочной структурой на рисунке 6.14 показывает, что поскольку число блоков – три, то имеем три пустых подграфа графа G (рисунок 6.16):

|Х`<sub>1</sub>|=3, |Х`₂|=3, |Х`₃|=2.

 

Рисунок 6.16 - Три пустых подграфа графа G

 

Таким образом имеем:

 

.

 

Расчет внешней устойчивости ψ(G) графа G

Рассчитаем внешнюю устойчивость графа G, т.е. наименьшее число вершин графа G смежных со всеми остальными вершинами графа.

Составим таблицу 6.2 отображений для графа G и дополним ее столбцом несмежных вершин.

 

Таблица 6.2 ― Таблица отображений графа G

xi	Hi	┐ Hi
	5,7	6,8,9
	4,6,7	8,9
	5,7	4,8,9
	4,5,6,8,9
	7,9	4,5,6
	7,8	4,5,6

 

Анализ таблицы 6.2 показывает, что в столбце ┐ H_i есть несмежные вершины. В этом случае необходимо построить еще одну таблицу – таблицу 6.3 следующим образом.

Таблица 6.3 строится на базе строк таблицы 6.2, в которых нет знака в столбце ┐ H_i. В нашем случае таких строк – пять. В строках первого столбца таблицы 6.3 пары вершин, образованные полным перебором вершин из первого и второго столбцов таблицы 6.2. В строках второго и третьего столбцов таблицы 6.3 указываются смежные и несмежные вершины, соответственно, для {х_i,х_j}, перечисляемых в строках первого столбца таблицы 6.3.

 

Таблица 6.3 ― Таблица отображений и несмежных вершин для двухэлементных подмножеств

{xi,xj}	H(xi,xj)	┐H(xi,xj)
x4,x5	x6,x7	x8,x9
x4,x7	x5,x6,x8,x9
x5,x6	x4x7	x8,x9
x5,x7	x4,x6,x8,x9
x7,x6	x5,x8,x9	x4
x7,x8	x4,x5,x6,x9
x7,x9	x4,x5,x6,x8
x8,x9	x7	x4,x5,x6

 

Если в таблице 6.3 найдется , т.е. хотя бы в одной строке столбца 3 таблицы 6.3 будет стоять знак , то расчеты завершены. В противном случае необходимо перейти к формированию новых таблиц отображений и несмежных вершин для трех элементных подмножеств , т.е. H(x_i,x_j,x_k) и ┐ H(x_i,x_j,x_k) и т.д.

В нашем примере во второй, четвертой, шестой и седьмой строках стоят знаки . Значит расчеты закончены и можно приступать к анализу таблицы 6.2 и таблицы 6.3.

По итогам анализа таблицы 6.3 можно сформировать множество T потенциальных ядер графа G, т.е.

Т= {{ x₄,x₅},{ x₄,x₇},{x₇,x₈},{x₇, x₄}},

где T₁={ x₄,x₅}, T₂={x₅,x₇}, T₃={x₇,x₈}, T₄={x_7, x₄}.

Тогда ψ(G)= {| |}= | |}|_i=1;4=2.

 

Расчет числа внутренней устойчивости (G) графа G

Составим таблицу 6.2 отображений и несмежных вершин графа G. Анализ таблицы 6.2 показывает, что в столбце ┐ H_i есть несмежные вершины. В этом случае построим таблицу 6.4 двухэлементных множеств из несмежных вершин, найдем им образ и ┐ .

Таблица 6.4 - Таблица образов и ┐

{ xi,xj }		┐
4,6	5,7	8,9
4,8	5,7,9	6,9
4,9	5,7,8
5,8	4,6,7,9
5,9	4,6,7,8
6,8	5,7,9
6,9	5,7,8

 

Поскольку не во всех строках столбца ┐ таблицы 6.4 указаны знаки , сформируем таблицу 6.5 трехэлементных множеств { x_i,x_j,x_k } и найдем им образ и ┐ .

 

Таблица 6.5 - Таблица образов и ┐

{xi,xj,xk}		┐
4,6,8	5,7,9
4,6,9	5,8,7

 

Поскольку во всех строках таблицы 5.5 указаны знаки процесс вычислений закончен и можно перейти к анализу таблицы 6.4 и таблицы 6.5.

По итогам анализа можно сформировать множество S ядер графа G, т.е.

S={{x₅,x₈},{x₅,x₄},{x₄,x₆,x_8,},{x₄,x₆,x₉}},

где S₁={x₅,x₈}, S₂={x₅,x₉}, S₃={x₄,x₆,x₈}, S₄={x₄x₆,x₆}.

Тогда

(G)= {|S_i|}= {| |}|_i=1;4=3.

 

На этом расчеты числовых характеристик графа G закончены.

2 Решение задач

Тема: «Графы. Основные понятия. Способы задания. Части графа»

Задачи для решения в аудитории

1. На рис. изображены графы с четырьмя вершинами в каждом. Сравнить графы.

 

2. Задать различными способами графы , представленные на рисунке ниже. Вычислить степени и полустепени вершин.

 

 

 

3. Для графов из задачи 2 построить полный граф, пустой граф, частичный граф, суграф, подграф, остов графа. Являются ли графы планарными?

4. Пусть неориентированный и ориентированный графы и на рисунке ниже. задают отношение , т.е. и . Каковы свойства отношения?

 

 

Домашнее задание

1. Какие графы в задаче 10 являются деревьями? Какие графы в задаче 10 являются полными? Постройте остов для каждого графа из задачи10.

2. Построить мультиграф и полный граф для графов, заданных в задаче 5.

3. Изобразите неориентиованный, ориентированный и смешанный графы.

4. Определить степени и полустепени вершин для графов, заданных в задаче 5.

5. Задать графы множествами их вершин и ребер. Сравнить графы .

 

 

6. Равны ли графы на рисунке ниже. Задать графы множествами их вершин и ребер. Сравнить графы.

 

 

7. Определить дополнение графа , если: 1) граф - пятиугольник, 2) граф - треугольник.

8. Для графа на рисунке ниже построить: частичный граф, подграф и суграф.

 

9. Когда граф называется полностью заданным? Задайте граф в форме отображений.

10. Построить матрицы смежности и инциденции графов, изображенных на рисунке ниже. Чему равны степени вершин?

 

 

3 Задание

 

Задание на РГР формулируется следующим образом: «Найти основные числа графа G по данным, приведенным в таблице 6.6 для модели графа, представленной на рисунке 6.17: число вершин, число ребер, степени всех вершин, число компонент связности, цикломатическое число, хроматическое число, плотность и неплотность графа, числа внешней и внутренней устойчивости».

Рисунок 6.17 - Модель графа G

 

Таблица 6.6 - Данные для формирования графа G по вариантам

 

Номер варианта	Удалить в модели графа вершины { i }	Удалить в модели графа ребра {(i,j)}
	{1,2}	{(4,7),(6,7),(7,8),(7,10),(10,11),(10,13)}
	{1,2}	{(6,7),(7,10),(7,12),(10,11),(10,13),(11,12)}
	{1,2}	{(6,7),(4,7),(4,8),(7,10),(10,11),(10,13)}
	{1,2}	{(6,7),(7,10),(7,12),(8,12),(10,11),(10,13)}
	{1,2}	{(4,8),(6,7),(7,8),(7,10),(10,11),(10,13)}
	{2,5}	{(3,7),(4,7),(4,8),(4,9),(7,10),(7,11)}
	{2,5}	{(3,7),(4,7),(4,8),(4,9),(7,12),(8,12)}
	{2,5}	{(3,7),(4,7),(4,8),(4,9),(7,10),(10,11)}
	{2,5}	{(3,7),(4,7),(4,8),(4,9),(7,12),(11,12)}
	{2,5}	{(3,7),(4,7),(4,8),(4,9),(7,11),(10,11)}
	{5,10}	{(2,7),(3,7),(7,11),(7,12),(8,12),(9,12)}
	{5,10}	{(4,7),(4,8),(7,11),(7,12),(8,12),(9,12)}
	{5,10}	{(2,3),(2,7),(7,11),(7,12),(8,12),(9,12)}
	{5,10}	{(3,4),(4,7),(7,10),(7,12),(8,12),(9,12)}
	{5,10}	{(2,3),(3,7),(7,10),(7,12),(8,12),(9,12)}

 

Таблица 6.6 - Продолжение

Номер варианта	Удалить в модели графа вершины {i}	Удалить в модели графа ребра {(i,j)}
	{10,13}	{(1,2),(2,3),(2,7),(6,7),(7,8),(7,12)}
	{10,13}	{(1,2),(2,3),(2,7),(3,4),(4,7),(6,7)}
	{10,13}	{(1,2),(2,3),(2,7),(6,7),(7,12),(8,12)}
	{10,13}	{(1,2),(2,3),(2,7),(4,7),(4,8),(6,7)}
	{10,13}	{(1,2),(2,3),(2,7),(6,7),(7,8),(8,12)}
	{1,4}	{(6,10),(7,8),(7,10),(7,12),(11,12),(12,13)}
	{1,4}	{(2,6),(6,7),(7,8),(7,12),(11,12),(12,13)}
	{12,13}	{(1,4),(3,4),(4,7),(6,7),(7,8),(7,10)}
	{12,13}	{(1,4),(2,3),(2,7),(3,4),(4,7),(7,8)}
	{12,13}	{(1,4),(3,4),(4,7),(6,10),(7,8),(7,10)}
	{12,13}	{(1,4),(2,6),(2,7),(3,4),(4,7),(7,8)}
	{12,13}	{(1,4),(3,4),(4,7),(6,7),(6,10),(7,8)}
	{6,8}	{(3,7),(5,10),(7,10),(7,11),(7,12),(9,12)}
	{6,8}	{(2,3),(5,10),(7,10),(7,11),(7,12),(9,12)}
	{6,8}	{(1,3),(5,10),(7,10),(7,11),(7,12),(9,12)}
	{6,8}	{(3,4),(5,10),(7,10),(7,11),(7,12),(9,12)}
	{6,8}	{(5,10),(7,10),(7,11),(7,12),(9,12),(11,13)}
	{3,11}	{(1,2),(2,7),(4,8),(6,7),(7,10),(10,13)}
	{3,11}	{(1,2),(2,7),(6,7),(7,8),(7,10),(10,13)}
	{3,11}	{(1,2),(2,7),(6,7),(7,10),(8,12),(10,13)}
	{3,11}	{(1,2),(2,7),(6,7),(7,10),(8,9),(10,13)}
	{3,11}	{(1,2),(2,7),(5,6),(6,7),(7,10),(10,13)}
	{2,9}	{(6,7),(7,10),(7,12),(10,11),(10,13),(11,12)}
	{2,9}	{(6,7),(7,8),(7,10),(7,12),(10,11),(10,13)}
	{2,9}	{(6,7),(7,8),(7,10),(10,11),(10,13),(11,13)}
	{2,9}	{(3,4),(4,7),(6,7),(7,10),(10,11),(10,13)}
	{2,9}	{(4,7),(6,7),(7,8),(7,10),(10,11),(10,13)}
	{9,10}	{(1,2),(2,3),(2,7),(3,4),(4,7),(6,7)}
	{9,10}	{(1,2),(2,3),(2,7),(4,7),(6,7),(7,8)}
	{9,10}	{(1,2),(2,3),(2,7),(6,7),(7,8),(7,12)}
	{9,10}	{(1,2),(2,3),(2,7),(6,7),(7,12),(11,12)}
	{9,10}	{(1,2),(2,3),(2,7),(3,4),(6,7),(7,8)}

 

4 Содержание отчета

1) Условие задачи в соответствии с вариантом.

2) Определение числа вершин.

3) Определение числа ребер.

4) Определение степени всех вершин.

5) Определение числа компонент связности.

6) Определение цикломатического числа.

7) Определение хроматического числа.

8) Определение плотности и неплотность графа.

9) Определение числа внешней и внутренней устойчивости.