Логические основы вычислительной техники

Двоичные переменные и булевы функции

Для формального описания устройств вычислительной техники при их анализе и синтезе используется аппарат алгебры логики. Алгебру логики называют также булевой алгеброй. Основными понятиями алгебры логики являются двоичные переменные и переключательные (булевы) функции.

Двоичные переменные могут принимать только два значения: 0 (ложь) и 1 (истина) − и обозначаются символами x₁, x₂, …, x_n. Двоичные (логические, булевы) переменные являются аргументами булевых (переключательных) функций.

Функция f, зависящая от n переменных x₁, x₂,...., x_n, называется булевой, или переключательной, если функция f и любой из ее аргументов x_i, (i = 1...n) принимают значения только из множества {0, 1}.

Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежат множеству { 0, 1 }. Множество { 0, 1 } обозначим через B.

Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n -местную алгебраическую операцию на множестве B. При этом алгебра <B;Ω >, где Ω – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики (булевой алгеброй).

Конечность области определения функции имеет существенное достоинство: такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2 ⁿ возможных наборов. Эти значения записывают в таблицу истинности в порядке соответствующих двоичных чисел (рассмотрим позже).

x₁ x₂... x_n-1 x_n f

0 0... 0 0 f(0,0,...,0,0)

0 0... 0 1 f(0,0,...,0,1)

0 0... 1 0 f(0,0,...,1,0)

0 0... 1 1 f(0,0,...,1,1)

..................

1 1... 0 1 f(1,1,...,0,1)

1 1... 1 0 f(1,1,...,1,0)

1 1... 1 1 f(1,1,...,1,1)

Для того чтобы задать функцию, достаточно выписать значения f (0,0,...,0,0), f (0,0,...,0,1), f (0,0,...,1,0), f (0,0,...,1,1),..., f (1,1,...,0,0), f (1,1,...,0,1), f (1,1,...,1,0), f (1,1,...,1,1). Этот набор называют вектором значений функции.

Таким образом, булевы функции на конечном множестве своих аргументов могут принимать значения 0 и 1 и обозначаются f(x₁,x₂, …,x_n). Булевы функции могут служить аргументами более сложных логических функций.

Способы задания булевых функций

Для задания произвольной булевой функции широко используются табличный (матричный) и аналитический способы. При табличном способе булева функция f (х₁,...,х_n) задается таблицей истинности (табл. 7), в левой части которой представлены все возможные двоичные наборы длины n, а в правой указываются значения функции на этих наборах.

Таблица 7

№ набора	х1х2х3	f
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 0 0 1 1 0 1

Под двоичным набором понимается совокупность значений аргументов х₁,х₂,...,x_n булевой функции f. Двоичный набор имеет длину n, если он представлен n цифрами из множества {0,1}. В табл. 7 представлены все двоичные наборы длиной 3. Иногда двоичные наборы из таблицы истинности булевой функции удобно представлять их номерами. Запишем аргументы х₁,х₂,...,x_n в порядке возрастания их индексов. Тогда любому двоичному набору можно поставить в соответствие целое десятичное число N, называемое номером набора. Например, двоичные наборы 011 и 101 имеют номера 3 и 5 соответственно. Булевы функции, зависящие от большого числа переменных, задавать таблицей истинности неудобно в силу ее громоздкости. Например, таблица истинности булевой функции 8 переменных будет содержать 2⁸ = 256 строк. Для задания функций многих переменных удобно использовать модификацию таблицы истинности. Рассмотрим способ построения такой таблицы истинности для функции n переменных. Множество из n переменных функции разбивается на два подмножества: х₁, х₂,..., х_j-1 и х_j, х_j+1,..., х_n. Переменными x₁, x₂,..., x_n отмечают строки таблицы истинности, задавая в каждой строке значение соответствующего двоичного набора длины j-1. Переменными x_j, x_j+i,..., x_n отмечают ее столбцы, задавая в каждом столбце значения соответствующего двоичного набора длиной n-j+1. Значение функции записывается в клетке на пересечении соответствующей строки и столбца (табл. 8).

При аналитическом способе булева функция задается формулой, то есть аналитическим выражением, построенным из операций булевой алгебры. Аналитический способ задания булевых функций занимает особое место в проектировании цифровых автоматов. Фактически все преобразования над булевыми функциями, необходимые для построения цифровых автоматов, ведутся на аналитическом уровне.

Таблица 8

x1,x2,...xj-1	xj, xj+1,...,xn
00...0	0...1	...	11...1
00...0
00...1
...
11...1

Основные понятия алгебры логики

Существует не более чем 2^к (где к=2ⁿ) различных булевых функций n переменных. К этому выводу легко прийти, пользуясь простыми комбинаторными рассуждениями, и вспомнив, что на каждом из 2ⁿ наборов функции могут принимать два значения.

Функций от одной переменной четыре: это константа 0 (f₀), константа 1 (f₁), тождественная функция (f₂), то есть функция, значение которой совпадает с аргументом, и функция отрицания (f₃), значение которой противоположно значению аргумента. Отрицание будем обозначать x.

x f₀ f₁ f₂ f₃

0 0 1 0 1

1 0 1 1 0

Функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных, при этом значения функции не меняются при изменении этих ''добавочных'' переменных. Такие переменные называются фиктивными, в отличие от остальных – существенных (действительных).

Переменная x_i называется фиктивной (несущественной) переменной функции f (x ₁ ,···,x_n), если

f (x ₁ ,···,x_{i- 1},0 ,x_{i+ 1} ,···,x_n) = f (x ₁ ,···,x_{i- 1},1 ,x_{i+ 1} ,···,x_n)

для любых значений x ₁ ,···,x_{i- 1} ,x_{i+ 1} ,···,x_n. Иначе переменная x_i называется существенной.

Функции двух переменных представлены в табл. 9.

Таблица 9

х1х2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	F10	f11	f12	f13	f14	f15
00 01 10 11	0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1

Отметим наиболее часто используемые функции из числа приведенных в таблице:

f₀ (x1, x2) = 0 - тождественный ноль (константа 0);

f₁ (x1, x2) = x₁ ∙ x₂ – конъюнкция (логическое произведение, И). Иногда употребляется знак & или /\;

f₃ (x1, х2) = x₁ − повторениеx₁;

f₅ (x1, x2) = x_{2 −} повторение x₂;

f₆ (x1, x2) = x₁ Åx₂ − сложение по модулю 2 или mod 2;

f₇ (х1, х2) = x₁ + x₂ − дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ или V);

f₈ (x1, x2) = x₁ ↓ x₂ − функция Вебба (стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ);

f₉ (х1, х2) = x₁ ~ x₂ − эквивалентность;

f₁₃(x1, x2) = x₁ → x₂ − импликация;

f₁₄(x1, x2) = x₁ \ x₂ − штрих Шеффера (И-НЕ);

f₁₅(x1, x2) = 1 − тождественная единица (константа 1).

Основными операциями булевой алгебры являются: отрицание, логическое сложение и логическое умножение. В булевой алгебре возведение в степень и извлечение корня являются вырожденными логическими операциями, поскольку значения, принимаемые аргументами при возведении в степень и извлечении корня, остаются неизменными, если принять справедливость равенств 1·1= 1 и 0·0= 0. Операции вычитания и деления не рассматриваются и не допускаются.

Логическое отрицание (функция НЕ). Логическим отрицанием высказывания x называется такое сложное высказывание f(x), которое истинно, когда x ложно, и наоборот. Функция НЕ записывается следующим образом: f₁=x. Условное изображение элемента реализующего функцию НЕ приведено на

рис. 13,а.

Логическое умножение (конъюнкция). Конъюнкция (функция И) двух переменных x₁ и x₂ − это сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинны x₁ и x₂, и ложно для всех остальных наборов переменных. Логическая функция конъюнкции имеет вид f=x₁·x₂. Для обозначения операции конъюнкции используются также символы & и Λ. Функция логического умножения (И) от n переменных имеет вид f₂=(x₁, x₂, …, x_n)= x₁·x₂· … ·x_n = Λ x_i. Условное изображение элемента, реализующего операцию логического умножения, приведено на рис.13,б.

Логическое сложение (дизъюнкция). Дизъюнкция (функция ИЛИ) двух переменных x₁ и x₂ – это сложное высказывание, которое истинно тогда, когда истинна хотя бы одна из переменных x₁ и x₂, и ложно, когда они обе ложны. Логическая функция дизъюнкции имеет вид f=x₁+x₂. Для обозначения операции дизъюнкции используется также символ V. Функция логического сложения (ИЛИ) от n переменных имеет вид f₂=(x₁, x₂, …, x_n)= x₁+x₂+ … +x_n = V x_i. Условное изображение элемента, реализующего операцию логического сложения, изображено на рис.13,в.

Отрицание конъюнкции (операция Шеффера). Отрицание конъюнкции (функция И-НЕ) двух переменных x₁ и x₂ – сложное высказывание, ложное только при истинности обоих аргументов x₁ и x₂. Логическая функция И-НЕ имеет вид f=x₁·x₂. Условное изображение элемента реализующего указанную операцию, изображено на рис. 13,г и называется элементом Шеффера или элементом И-НЕ.

Отрицание дизъюнкции (операция Пирса (Вебба)). Отрицание дизъюнкции (функция ИЛИ-НЕ) двух переменных x₁ и x₂ – сложное высказывание, истинное только тогда, когда оба аргумента принимают ложное значение. Логическая функция ИЛИ-НЕ имеет вид f=x₁+x₂. Условное изображение элемента, реализующего указанную операцию, приведено на рис.13,д и называется элементом Пирса или элементом ИЛИ-НЕ.

Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ). Сложение по модулю

2 − это сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинна только одна из переменных x₁ и x₂. Логическая функция ”сумма по модулю 2” имеет вид f=x₁Åx₂. Если число переменных n>2, то функция истинна на тех наборах, в которых число единиц нечетно. Условное изображение элемента, реализующего операцию сумма по модулю два, изображено на рис. 13,е.

а б в г д е   Рис. 13. Схемы логических элементов

Импликация. Это высказывание, принимающее ложное значение только в случае, если x₁ истинно, а x₂ ложно.

Простейшие булевы функции позволяют строить новые булевы функции с помощью обобщенной операции, называемой операцией суперпозиции.

Суперпозицией булевых функций f ₀ и f ₁ ,...,f_n называется функция f (x ₁ ,...,x_m) = f ₀(g ₁(x ₁ ,...,x_m) ,...,g_k (x ₁ ,...,x_m)), где каждая из функций g_i (x ₁, ...,x_m) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f ₁ ,...,f_n.

Функция f (x,y) = (x & y) является суперпозицией функций и &. Функция g (x,y) = x Å (x Ú y) является суперпозицией функций Å и Ú. Функция h (x,y,z) =

= (x & y) Å z − суперпозиция функций Å и &.

Суперпозиция функций одного аргумента порождает функции одного аргумента. Суперпозиция функций двух аргументов дает возможность строить функции любого числа аргументов. Суперпозиция булевых функций представляется в виде логических формул. Однако следует отметить:

§ одна и та же функция может быть представлена разными формулами;

§ каждой формуле соответствует своя суперпозиция и, следовательно, своя схема соединений элементов;

§ между формулами представления булевых функций и схемами, их реализующими, существует взаимно однозначное соответствие.

Очевидно, среди схем, реализующих данную функцию, есть наиболее простая. Поиск логической формулы, соответствующей этой схеме, представляет большой практический интерес. Преобразование формул булевых функций основано на использовании соотношений булевой алгебры.