Суммирование чисел с одинаковыми знаками в BCD-коде

При выполнении операций над отмеченными кодами возможны следующие особенности:

§ наличие разрешенных и запрещенных комбинаций, свидетельствующих о правильности результата или необходимости его коррекции;

§ при сложении тетрад возможен потетрадный (16 единиц), а не поразрядный (10 единиц) перенос, что также требует корректировки результата.

При сложении чисел в BCD-коде возможны три случая:

1) (a + b) ≤ 9. В этом случае если действия выполняются по правилам двоичной арифметики, то величина получаемой суммы не превышает девяти и коррекция результата не требуется.

5 0101

⁺ 30011

8 1000

2) 10 ≤ (a + b) ≤ 15. Если результат сложения двух чисел попадает в данный диапазон чисел, то возможны два случая результирующей тетрады.

5 0101 9 1001

⁺ 60110 ⁺ 40100

11 1011 13 1101

В этом случае в тетраде накопилось более девяти единиц и должен быть выполнен десятичный перенос. Перенос единицы в старший разряд выполняется принудительно логической схемой. Условием для формирования единицы переноса является возникновение запрещенной комбинации (наличие единицы в разрядах с весом 8 и 4 или 8 и 2). Однако тетраду надо освободить от десяти избыточных единиц. Это тоже делается принудительно добавлением 0110 (шестерки), что приводит к возникновению шестнадцатеричного переноса. Этот перенос игнорируется. Схема формирования принудительного переноса приведена на рис.11.

3) (a + b) ≥ 16. Здесь в процессе суммирования возникает шестнадцатеричный перенос, в результате которого тетраду покидают вместе с десятком и те шесть единиц, которые принадлежат тетраде. Чтобы восстановить верное значение этой тетрады, необходимо к ней добавить 0110 (шесть).

8 1000

⁺ 91001

17 1 0001

0110 Коррекция(+6) 0111

 

Рис. 11. Схема определения запрещенной комбинации

 

 

Таким образом, из сказанного выше можно сформулировать следующие правила потетрадного сложения чисел в BCD-кодах.

§ Если при потетрадном сложении перенос в соседнюю старшую тетраду не возникает, то результат суммирования не требует коррекции.

§ Коррекция результата потетрадного сложения путем добавления поправки 0110 требуется в случае, если возникает:

а) потетрадный перенос в старшую тетраду;

б) запрещенная комбинация.

Устройство, которое работает по сформулированным выше правилам, называется одноразрядным двоично-десятичным сумматором (рис.12).

 

Пример: сложить числа А=169 и В=378 в BCD-коде

A = 169 A = 0.0001 0110 1001

⁺ B = 378 ⁺ B = 0.0011 0111 1000

A + B = 547 A + B = 0.0101 1110 0001

0110 0110

0.0101 0100 0111

перенос игнорируется

Суммирование чисел с разными знаками в BCD-коде

Отрицательные BCD-коды должны представляться в прямом, обратном или дополнительном кодах. Особенностью BCD-кодов является то, что инверсия тетрады означает дополнение до 15, а для соответствующей десятичной цифры до 9. Следовательно, необходимо убрать разницу. Один из приемов формирования обратного BCD-кода состоит в добавлении во все тетрады отрицательного числа 0110, затем их инверсии.

 

При сложении чисел с разными знаками возможны следующие случаи.

1) a - b ≥ 0

a = 7 0. 0111 [ a ]_обр

b= -31. 1100 [ b ]_обр

4 10. 0011

1

0. 0100

При образовании инверсии отрицательной тетрады в нее добавляются 15 единиц. Эти 15 единиц находятся и в сумме. Но благодаря шестнадцатеричному переносу из тетрады уходит 16 единиц (15+1 − эта единица восстанавливается добавлением по цепи циклического переноса).

2) a - b < 0

a = 3 0. 0011 [ a ]_обр

b = -71. 1000 [ b ]_обр

-4 1. 1011

0. 0100

Здесь, как и в предыдущем примере, в тетраде суммы пятнадцать лишних единиц. Но при переходе от инверсной формы к прямой лишние единицы уничтожаются сами собой. Это то же самое, что от значащей части суммы вычесть пятнадцать: 1011 - 1111 = 0100. Рассмотрим несколько примеров.

 

A = 378 0. 0011 0111 1000

– B = 1691. 1110 1001 0110

A – B = 209 10. 0010 0000 1110

циклический перенос 1

0. 0010 0000 1111

Из последней тетрады нет переноса, таким образом, это соответствует заему в нее 16 единиц (вместо необходимых 10). Следовательно, из нее необходимо удалить лишние шесть единиц. Для этого в тетраду добавляется 10 - дополнение шести до шестнадцати:

0. 0010 0000 1111

1010

0. 0010 0000 1001

+ 2 0 9

A = 169 0. 0001 0110 1001

B = 378 1. 1100 1000 0111

A–B= - 209 1. 1101 1111 0000

0110

1. 1101 1111 0110

- 0010 0000 1001

- 2 0 9

Таким образом, в тетраду производится заем, если результат:

§ положительный и из тетрады нет переноса;

§ отрицательный и из тетрады есть перенос.

BCD-коды с избытком 3

Иначе говоря, это коды чисел из системы (BCD + 3). В этом коде каждая десятичная цифра a_i представляется в виде двоичного эквивалента суммы a_i+3. В отличие от BCD-кода код BCD+3 – самодополняющийся, но не имеющий свойства взвешенности. Применяется наиболее часто в десятичной арифметике, так как при выполнении двоичного суммирования легко выделить десятичный перенос.

Возможны следующие два случая сложения чисел в BCD-коде +3:

1) a + b ≤ 9; [ (a + 3) + (b + 3) ] ≤ 15.

И, следовательно, в тетраде суммы будут лишние 6 единиц. Чтобы тетрада суммы осталась тоже с избытком 3, нужно вычесть 3.

2) a + b ≥ 10; [ (a + 3) + (b + 3) ] ≥ 16.

Здесь во всех случаях возникает шестнадцатеричный перенос, вместе с которым тетраду суммы покинут и шесть избыточных единиц; чтобы тетрада суммы осталась с избытком 3, надо добавить 3.

Если складываются числа с разными знаками, то избыток в тетраде суммы будет равен нулю и суммирование, таким образом, сводится к правилам суммирования в BCD-коде.

Пример. Выполнить сложение чисел 169 и 378 в BCD-коде +3.

0.0100 1001 1100

A = 169 0.0110 1010 1011

B = 378 0.1011 0100 0111

A + B = 547 -0011+0011+0011

0.1000 0111 1010

8 7 10

Пример. Выполнить вычитание из числа 378 числа 169 в BCD-коде +3.

A = 378 0.0110 1010 1011

B = 1691.1011 0110 0011

A - B = 209 1 0.0010 0000 1110

циклический перенос 1

0.0010 0000 1111

+ 0011 -0011 -0011

0.0101 0011 1100

5 3 12

Пример. Выполнить вычитание из числа 169 числа 378 в BCD-коде +3.

A = 169 0.0100 1001 1100

B = 3781.1001 0101 0100

A - B = -209 1.1101 1111 0000

-0011 -0011 +1100

1.1010 1100 0011

- 0101 0011 1100

5 3 12

Правило. Если из тетрады был перенос, надо добавить +0011, если переноса не было, – 0011 (добавить 1100), независимо от знака слагаемых и знака суммы.