Арифметические основы вычислительной техники

Системы счисления

В ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел, записанных в той или иной системе счисления. Выбор системы счисления - один из важнейших вопросов. От правильности его решения зависят такие характеристики ЭВМ, как скорость вычислений, сложность алгоритмов реализации арифметических операций и др. Система счисления - совокупность цифр, приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая система счисления должна обеспечивать:

§ возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

§ единственность этого представления;

§ простоту оперирования числами.

Различают два типа систем счисления - непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером может служить система счисления с одной цифрой 1. Для записи любого числа в ней необходимо написать количество единиц, равное числу. Другой пример - это римская система счисления.

Позиционной системой счисления называется система записи любых по величине чисел, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе, т.е. веса. Число цифр в позиционной системе счисления ограниченно.

Основание (базис) r позиционной системы счисления - максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом, кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием r может быть записано в общем виде:

A=a_n·rⁿ+ a_n-1·r^n-1+...+a₁·r¹+a₀·r⁰+ a_-1·r^--1+...+a_-rn-1·r^-(rn-1)+a_-rn·r^-rn, (1)

или

, (2)

где любая разрядная цифра a_iÎ{0,…,r-1}, a rⁱ - вес соответствующего разряда.

Запись числа в форме (1) назовем записью числа в развернутой форме. Свернутой формой записи чисел называется запись чисел в виде

A=a₁a₂ … a_k.

Для любой системы счисления основание представляется как 1 (один) и 0 (ноль).

Например: 9 1 F 7

⁺ 1 ⁺ 1 ⁺ 1 ⁺ 1

10₁₀ 10₂ 10₁₆ 10₈

Вес разряда p_i числа выражается соотношением

p_i = rⁱ /r⁰ = rⁱ,

где i - номер разряда при отсчете справа налево.

Если в i-м разряде накопилось значение единиц, равное или большее r, то должна происходить передача единицы в старший i+1 разряд. При сложении такая передача информации называется переносом. При вычитании передача из i+1 разряда в i-й – заем.

Длина числа – количество позиций (разрядов) в записи числа. В технической реализации под длиной числа понимается длина разрядной сетки.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными при заданной длине разрядной сетки.

В вычислительной технике для представления данных и выполнения арифметических операций над ними удобно использовать двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ниже коротко остановимся на них.

 

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10₍₂₎ (2₁₀=1·2¹+0·2⁰). Используя данную систему, любое число можно выразить последовательностью высоких и низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запоминать одно из двух (0,1) значений. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

	Сложение		Вычитание		Умножение
	0+0= 0		0-0=0		0 · 0=0
	0+1= 1		1-0=1		0 · 1=0
	1+0= 1		1-1=0		1 · 0=0
	1+1=10		10-1=1		1 · 1=1

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих выполнение арифметических операций:

Пример:

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2 … 7, а основание записывается как 10₍₈₎ (8₁₀=1·8¹+0·8⁰). Рассмотрим выполнение операций в восьмеричной системе счисления. При их выполнении используются правила, представленные в таблицах сложения и умножения восьмеричных цифр.

Сложение

Умножение

Пример: