Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Показал полезность применения двоичной системы немецкий математик Г. Лейбниц в 1703 г. Однако лишь благодаря работам Дж. Фон Неймана, опубликованным в 1940-х гг., двоичная система получила практическое использование при создании компьютерных средств.

Применение двоичной системы в вычислительной технике было обусловлено такими обстоятельствами, как двухпозиционный характер работы электронных элементов, высокая экономичность двоичной системы счисления и простота выполнения операций с двоичными числами. Как отмечалось в отчете Дж. Фон Неймана (1946 г.): "основное же преимущество двоичной системы по сравнению с десятичной состоит в том, что основная часть машины по своему характеру является не арифметической, а логической. Новая логика, будучи системой типа "да - нет", в основном двоична. Поэтому двоичное построение арифметических устройств существенно содействует построению более однородной машины, которая может быть лучше скомпонована и более эффективна".

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи используется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преимуществ перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен. Это обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток имеет существенное значение. Если возникает необходимость кодировать информацию “вручную”, например при составлении программы на машинном языке, используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления.

Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в таблице 4.2.

Таблица 4.2.

Представление чисел в двоичной, восьмеричной и

Шестнадцатеричной системах счисления

10-ичная	2-ичная	8-ичная	16-ичная
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления осуществляется путем замены каждой цифры эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Пример 4. Переведем число 537,1₈ в двоичную систему счисления.

537,1₈ = 101 011 111, 001₂

5 3 7 1

Пример 5. Переведем число 1A3,F₁₆ в двоичную систему счисления.

1A3,F₁₆ = 1 1010 0011, 1111₂

1 A 3 F

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево или вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Пример 6. Переведем число 10101001,10111₂ в восьмеричную систему счисления.

10101001,10111₂ = 10 101 001,101 110₂ = 251,56₈

2 5 1 5 6

Пример 7. Переведем число 10101001,10111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

10101001,10111₂ = 1010 1001,1011 1000₂ = A9,В8₁₆

A 9 В 8

 

Выполнение арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Правила выполнения арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления в 2-, 8- и 16-ичной системах счисления будут такими же, как и в десятичной системе, только надо пользоваться особыми для каждой системы таблицами сложения и умножения.

Таблицы сложения для 2-ичной, 8-ичной и 16-ичной систем счисления представлены в таблицах 4.3-4.5.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Таблица 4.3.

Сложение в двоичной системе

+

Таблица 4.4.

Сложение в восьмеричной системе

+

 

Таблица 4.5.