I. Понятие системы счисления

Содержание

I. Понятие системы счисления 4

II. Алгоритмы перевода 10

III. Арифметические операции 20

IV. Форма представления чисел 23

ПРИЛОЖЕНИЯ 25

1. Представления чисел до 50 в основных системах счисления

2. Таблицы арифметических операций

3. Контрольные работы

4. Не пальцы ли первый компьютер?

ЛИТЕРАТУРА 52

I. Понятие системы счисления

Программирование для компьютера и их конструкция тесно связаны с системами счисления, т.к. компьютеры оперируют с информацией, представленной в цифровом виде.

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

Системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления, возникшая раньше позиционной – система счисления, в которой количественный эквивалент – значение каждого символа не зависит от его положения в коде числа.

Примером непозиционной системы может служить римская система счисления, которая сохранилась до сегодняшних дней. В римской системе счисления цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

Для записи промежуточных чисел используется правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Например: IX – 10-1=9

XI – 10+1=11

Основной принцип, используемый в этой системе счисления, - каждая используемая буква всегда означает одно и тоже число не зависимо, где эта буква размещается в числе.

Одним из недостатков непозиционной системы счисления является потребность во введении новых знаков для записи больших чисел.

Другим недостатком этой системы является сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – система, в которой количественный эквивалент, значение символа зависит от его места (позиции) в коде числа.

Примером такой системы счисления, которой мы обучались в школе и производили свои вычисления. В этой системе мы используем десять различных знаков (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), называемых цифрами. Из двух написанных рядом цифр выражает единицы в десять раз большая, чем правая цифры. Не только сама цифра, но и ее место, ее позиция имеет значение. Поэтому эту систему счисления называют позиционной.

Основное достоинство позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций, ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

Кроме десятичной системы чисел истории человечеству известны двоичные, троичные, пятеричные, двенадцатеричные, шестидесятеричные, восьмидесятеричные позиционные системы счисления. Остатки шестидесятеричной системы счисления мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети XXв имели элементы 12-чной системы счисления в Европе. При этом число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (2,3,4,6), чем 10 (2и 5). Поэтому в 12-чной системе счисления гораздо удобнее производить расчеты, нежели в десятичной. Неудивительно, что в XIXв среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов. Тем не менее, дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов. Влияние 12-чной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6,12,24 и т.д.

А вот шведский король Карл XII в 1717г увлекался восьмеричной системой, считал ее боле удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную. Только неожиданная смерть помешала осуществлению столь необычного намерения.

Позиционная система счисления характеризуется основанием (базисом) – количеством знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Поэтому позиционная система счисления обладает рядом преимуществ перед непозиционной: любое число в таких системах счисления может быть записано с использованием ограниченного числа символов, арифметические операции выполняются просто.

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько просто, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна».

Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Основание в любой системе записывается как 10, но в разных системах имеет разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

В десятичном числе

A = 255=2x10²+5x10¹+5x10⁰

Цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (числовой эквивалент) изменяется в 10 раз.

Такую форму записи называют развернутой или степенной.

Пример 1. Десятичное число A₁₀=4718,63 в виде развернутой формы запишется так: A₁₀ = 4x10³+7x10²+1x10¹+8x10⁰+6x10^-1+3x10^-2

Пример 2. Восьмеричная система счисления.

Основание: q = 8.

Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6 и 7.

Развернутая форма для 8-чной системы счисления имеет вид:

A₈=7764,1=7x8³+7x8²+6x8¹+4x8⁰+1x8^-1

Позиционных систем очень много, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньше 2. наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т.д.).

Пример 3. Пятеричная система счисления.

Основание: q = 5.

Алфавит: 0,1,2,3 и 4.

Пятеричное число A₅=2430,21 в виде развернутой форме запишется так: A₅=2x5³+4x5²+3x5¹+0x5⁰+2x5^-1+1x5^-2

Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного пятеричного числа: 365,44₁₀.

Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q = 16.

Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0-9. Для записи остальных цифр обычно используются первые пять букв латинского алфавита – A,B,C,D,E и F, означающие соответственно 10,11,12,13,14 и 15.

Таким образом, запись 3AF₁₆ означает:

3AF₁₆=3x16²+10x16¹+15x16⁰=3x256+160+15=943₁₀.

В приложении 1 представлены числа до 50 в основных системах счисления.

Задания

1. Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.

2. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах 6758, 34656, 164,96.

3. Что вы можете сказать о числах IX, XXX, VVV, 555.

4. Как пишется в 12-чной системе гросс дюжина гроссов?

5. В какой системе счисления справедливо равенство 3x4=10: 2x2=100; 2x2=11; 2x3=11; 3x3=13 и 10x10=100?

6. Существует ли система счисления, в которой одновременно 3+4=10 и 3x4=15; 2+3=5 и 2x3=11?

7. Запишите в развернутом виде числа:

A₁₀=143522;

A₈=143522;

A₇=143522;

A₁₆=143522.

8. Запишите в десятичной системе счисления числа:

A₉=8884;

A₅=432,1;

A₃=122;

A₁₆=2E5A,12;

A₄=133,21.

9. Как записывается в десятичной системе счисления число 10101, если считать его написанным во всех системах счисления – от двоичной до девятеричной включительно?

10. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:

341, 123, 222, 111, 124.

11. Текст и решение следующей задачи приводятся по книге «Занимательная арифметика» Якова Исидоровича Перельмана. В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами:

«Я окончил курс университета 44 года от рода. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т.д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?

 

II. Алгоритмы перевода

Составим таблицу степеней числа 2.

N
2^n

Задания

1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

1)513 2)600 3)602 4)1000

5)2304 6)500 7)7000 8)8192

Ответ:

1)1000000001 2)1001011000 3)1001011010 4)1111101000

5)100100000000 6)1001110001001 7)1101101011000 8)10000000000000.

2. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками после запятой):

1)0,011101 2)0,100001 3)0,100101 4)0,100111

5)0,101111 6)0,110011 7)0,110110 8)0,111011

3. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:

1)40,5 2)31,75 3)124,25

Ответы: 1)101000,1 2)11111,11 3)1111100,01

4. Переведите целые числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:

1)8700 2)8888 3)8900 4)9300

Ответы: 1)20774 2)21270 3)21304 4)22124

5. Переведите целые числа из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления:

1)266 2)1023 3)1280 4)2041

Ответы: 1)10A 2)3FF 3)500 4)7F9

6. Переведите числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:

1)0,43 2)37,41 3)2936 4)481,625

Ответы: 1)0,3341… 2)45,32 3)5570 4)741,5

7. Переведите числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

1)0,17 2)43,78 3)25,25 4)18,5

Ответы: 1)0,2B8… 2)2B,C7 3)19,4 4)12,8

8. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

1)1010001001011 2)1011001101111 3)110001000100

4)1010,00100101 5)1110,01010001 6)1000,1111001

Ответы:

1)12113 2)13157 3)6104 4)12,112 5)16,242 6)10,744

9. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1)1010001001011 2)1011001101111 3)110001000100

4)1010,00100101 5)1110,01010001 6)100,1111001

Ответы:

1)144B 2)166F 3)C44 4)A,25 5)E,51 6)4,F2

10. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

1)266₈ 2)1270₈ 3)10,23₈

4)266₁₆ 5)2A19₁₆ 6)10,23₁₆

Ответы:

1)10110110 2)1010111000 3)1000,010011

4)1001100110 5)10101000011001 6)10000,00100011

Приложение 1.

Чная система счисления

+

x

Таблицы умножения и сложения для 10-чной системы счисления мы не будем рассматривать, поскольку это рассматривается на уроках арифметики в средней школе.

12-чная система счисления занимала особое место в системе счета в Западной Европе.

+

A

B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

A B

B 1A

 

x

A

B

A B

A B

A 1A

A 2B

2B 5A

A 5A

B 1A A1

 

16-ичная система счисления используется в компьютерах

+

A

B

C

D

E

F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

A B C D E F

B C D E F 1A

C D E F 1A 1B

D E F 1A 1B 1C

E F 1A 1B 1C 1D

F 1A 1B 1C 1D 1E

 

x

A

B

C

D

E

F

A B C D E F

A B C D E F

A C E 1A 1C 1E

C F 1B 1E 2A 2D

C 1C 2C 3C

A F 1E 2D 3C 4B

C 1E 2A 3C 4E 5A

E 1C 2A 3F 4D 5B

1B 2D 3F 5A 6C 7E

A 1E 3C 5A 6E 8C

B 2C 4D 6E 8F 9A A5

C 3C 6C 9C A8 B4

D 1A 4E 5B 8F 9C A9 B6 C3

E 1C 2A 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2

F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

 

Приложение 3. Контрольные работы

Контрольная работа №1

С 1 по 4-ые задания выполнить арифметические действия в 2-чной системе

В 5-ом задании перевести из 2-чной системы в 10-чную систему

В 6-ом задании перевод из 10-ичной в 2-ичную систему.

Пример 1. 1)11000101+100010010 2)1010110*111101 3)10001111-1111110 4)10100101000100:1001100 5)101111010 6)a)524 b)65 Пример 2. 1)10100010+10000001 2)111000*1010010 3)10111001-1101010 4)1010000101010:111010 5)1100100 6)a)138 b)16 Пример 3. 1)11000011+1111001 2)1000110*101011 3)11011011-10010100 4)1011011101001:110011 5)111001001 6)a)560 b)91 Пример 4. 1)100011111+100011011 2)1011001*101011 3)100000011-11011010 4)10011011010100:1000110 5)11100001 6)a)262 b)92 Пример 5. 1)1111111+100011110 2)111000*100011 3)101110110-11001100 4)111011100101:1111011 5)111111011 6)a)227 b)86 Пример 6. 1)10010100+10111000 2)11010*1011000 3)100100100-1111111 4)1100010101010:1010010 5)1000011101 6)a)221 b)41 Пример 7. 1)10000011+10000111 2)1000000*11011 3)101100000-10110001 4)110011010110:110101 5)111110011 6)a)588 b)28 Пример 8. 1)1111101+100010110 2)1000100*100101 3)110001011-100101010 4)1100000000100:1101010 5)1101000 6)a)315 b)35 Пример 9. 1)11101010+11101000 2)1000011*1001001 3)1101110-1101011 4)10101010101:100111 5)10101111 6)a)551 b)92 Пример 10. 1)10001110+10101010 2)101111*1011001 3)101000011-10011010 4)101000011001:101111 5)1000110011 6)a)455 b)70 Пример 11. 1)1111000+100010001 2)1000000*101001 3)10100010-1111101 4)1110010010011:1001101 5)101100010 6)a)491 b)53 Пример 12. 1)11100100+10111011 2)11011*1000111 3)100011010-100001101 4)1001001001000:1001000 5)111111101 6)a)411 b)67 Пример 13. 1)11100011+11101111 2)110010*111000 3)101001100-10110111 4)1001010110100:111111 5)111011000 6)a)512 b)61 Пример 14. 1)10000111+10101001 2)1010011*101100 3)10011001-10001100 4)10100010111100:101100 5)11100001 6)a)207 b)88 Пример 15. 1)1101111+11100000 2)110011*10110 3)101111110-100011101 4)11000111001:111011 5)1101010 6)a)436 b)48 Пример 16. 1)10000110+1101100 2)1000011*111011 3)1101010-1100101 4)10011111100100:1000101 5)1000110110 6)a)440 b)21 Пример 17. 1)11000101+100010010 2)1010110*111101 3)10001111-1111110 4)10100101000100:1001100 5)101111010 6)a)525 b)65 Пример 18. 1)11011100+100010011 2)1000111*101100 3)101010011-11011100 4)1101110010110:1000010 5)101001000 6)a)133 b)69 Пример 19. 1)1110100+10100110 2)111111*100001 3)10010111-1110001 4)100100010000:1010000 5)11101111 6)a)100 b)50 Пример 20. 1)10011001+11010001 2)101001*1000100 3)11111101-11000011 4)1011001110110:101110 5)111101000 6)a)552 b)45 Пример 21. 1)10101110+10101111 2)100110*1000101 3)10000111-1111010 4)101000001110:1001110 5)111001111 6)a)456 b)60 Пример 22. 1)1111100+11110101 2)1000110*100011 3)100010101-10000100 4)10000001011000:1111000 5)111111001 6)a)241 b)79 Пример 23. 1)10100110+1101111 2)100100*100100 3)101001110-10010001 4)111000000101:1100001 5)1000001000 6)a)541 b)47 Пример 24. 1)100000111+11001110 2)1010000*1010001 3)11001001-10000100 4)10001010110001:1010011 5)11110001 6)a)440 b)25 Пример 25. 1)100010110+10110100 2)110000*1010000 3)100101100-10101011 4)1100110111100:1101100 5)1111110 6)a)438 b)35 Пример 26. 1)11101111+1110000 2)1001110*100101 3)10010110-1110101 4)10100011111110:1000010 5)100101111 6)a)323 b)98 Пример 27. 1)11000010+1111000 2)111001*101011 3)101001010-10101101 4)1000011011000:1011000 5)111100001 6)a)572 b)75 Пример 28. 1)100010001+100000001 2)110110*101111 3)101110001-11110100 4)10000101011:1100001 5)1101000 6)a)468 b)31 Пример 29. 1)11011010+100001111 2)1001000*110100 3)101110101-11000011 4)111011001000:101100 5)1101001 6)a)540 b)86 Пример 30. 1)11110111+11111001 2)101110*1001100 3)11010010-1111101 4)10100110101100:101010 5)111101110 6)a)559 b)46 Пример 31. 1)10001111+11101011 2)100110*11001 3)11100110-10111111 4)1010001111100:1110010 5)11011110 6)a)484 b)45 Пример 32. 1)11100111+10010100 2)1010011*100001 3)101111011-10000010 4)1000000000100:1100100 5)10111001 6)a)140 b)23 Пример 33. 1)11011001+1101000 2)1000100*1010111 3)101101110-11101100 4)1111100111000:110110 5)100110101 6)a)489 b)22 Пример 34. 1)11101001+11110101 2)100001*101111 3)100111011-10010101 4)1000101100010:1011001 5)11111010 6)a)397 b)92 Пример 35. 1)1111111+10111000 2)111011*101010 3)11011101-1110010 4)10100110110:111010 5)1000000100 6)a)371 b)16 Пример 36. 1)11111011+100001011 2)1010101*1001001 3)100011011-11011000 4)1001001101101:1011001 5)10111110 6)a)289 b)55 Пример 37. 1)10110100+10111110 2)11101*111010 3)101000000-100100111 4)111001100101:110111 5)11010010 6)a)358 b)30 Пример 38. 1)1111001+100001111 2)1001011*1000100 3)110000111-11101000 4)1010111111001:1001011 5)11110111 6)a)312 b)30 Пример 39. 1)1101110+11010011 2)1010101*10111 3)11011110-10111111 4)10010101010011:100111 5)11100000 6)a)336 b)34 Пример 40. 1)10000010+10111000 2)1000100*1000100 3)101101101-1111011 4)1000001110110:1100010 5)10101110 6)a)220 b)38 Пример 41. 1)10110010+10100101 2)10110*1000100 3)10110000-10101110 4)11010010001:101001 5)100011100 6)a)418 b)23 Пример 42. 1)11001000+11011101 2)1010001*100011 3)10101111-10101101 4)111001011000:1101100 5)100110100 6)a)534 b)99 Пример 43. 1)1111110+10000101 2)11011*101111 3)100100111-10010101 4)11110010100:1100001 5)110010001 6)a)204 b)88 Пример 44. 1)100010001+10111010 2)111111*111101 3)110001111-1111101 4)111010110010:1000010 5)111001101 6)a)564 b)50 Пример 45. 1)11000011+1111001 2)1000110*101011 3)11011011-10010100 4)1011011101001:110011 5)111001001 6)a)560 b)91 Пример 46. 1)100100110+11111000 2)1001110*111111 3)10001000-1111011 4)1001101001100:1000001 5)101100000 6)a)501 b)43 Пример 47. 1)100100100+11010001 2)1000000*111010 3)10111110-1110111 4)10111101101:101001 5)1000111000 6)a)204 b)16 Пример 48. 1)10011100+10101011 2)1010111*1000011 3)100010110-1100100 4)111101000010:111110 5)110110100 6)a)311 b)27 Пример 49. 1)11001011+11111111 2)1000100*110001 3)100101010-10011111 4)11110000010:111110 5)100000110 6)a)417 b)41 Пример 50. 1)10101111+100011100 2)11000*1010011 3)11000101-10101010 4)1001011000000:1100000 5)11110101 6)a)442 b)69 Пример 51. 1)10101011+10011000 2)110100*1000110 3)101101010-1101100 4)10100011111100:1010110 5)1101011 6)a)395 b)58 Пример 52. 1)11010110+1110110 2)1010110*1001111 3)11101101-10111010 4)1110001010010:111010 5)1001010100 6)a)174 b)39 Пример 53. 1)100011000+11011111 2)100101*1000011 3)11111100-10100110 4)10010111000010:110110 5)101010001 6)a)262 b)56 Пример 54. 1)10100001+11101010 2)110111*1010100 3)11100110-1110111 4)111001110010:1010110 5)111110000 6)a)478 b)82 Пример 55. 1)11000110+11011011 2)101000*101111 3)1111010-1110111 4)10101001100010:1000110 5)111101010 6)a)383 b)72 Пример 56. 1)1101100+11100100 2)11110*100110 3)101010111-11001001 4)10101001101111:1000111 5)11011111 6)a)294 b)55 Пример 57. 1)100001001+11010101 2)110100*1000001 3)100011111-1111011 4)1101100111100:101010 5)10011101 6)a)132 b)88 Пример 58. 1)11101001+11110111 2)1000000*101011 3)100111011-10011110 4)10011010000100:1000100 5)110100100 6)a)248 b)35 Пример 59. 1)11111010+100100000 2)10111*110110 3)10110101-10000011 4)1101000101001:100101 5)110100101 6)a)195 b)38 Пример 60. 1)11110001+100100100 2)1000100*1010111 3)100101101-100101011 4)110010101101:111011 5)10101000 6)a)364 b)66 Пример 61. 1)11110011+11111101 2)11001*100001 3)10110001-10000110 4)110001100111:1111111 5)101110101 6)a)150 b)83 Пример 62. 1)10011001+100010111 2)11110*101000 3)100111001-11101110 4)10001010110000:111100 5)10001010 6)a)177 b)95 Пример 63. 1)10011001+10001010 2)11011*111010 3)11010001-10011111 4)100110110100:1101100 5)110111110 6)a)270 b)20 Пример 64. 1)11001110+11111001 2)110100*10101 3)11001100-10110101 4)1010011101011:1101001 5)111011001 6)a)381 b)73 Пример 65. 1)100011111+10001100 2)1011001*101011 3)100000011-11011010 4)10011011010100:1000110 5)1100001 6)a)262 b)92 Пример 66. 1)10101000+100011010 2)110001*1010110 3)10111110-10011111 4)111001100000:101000 5)100100010 6)a)586 b)33 Пример 67. 1)11010000+11100110 2)1001011*111000 3)11000110-10000111 4)11010111010:1010010 5)11010100 6)a)403 b)46 Пример 68. 1)11000110+11110011 2)1011001*100001 3)10010001-10001110 4)1110001101000:100100 5)100000001 6)a)594 b)54 Пример 69. 1)10010111+11110010 2)1001111*1000010 3)11101111-10101100 4)10100010000110:100110 5)111011101 6)a)240 b)77 Пример 70. 1)10101000+11011110 2)1001100*1010100 3)101001011-1110110 4)100000111100:1111100 5)11100010 6)a)128 b)90

Ответ 1. 1)111010111 2)1010001111110 3)10001 4)10001011 5)378 6)a)1000001100 b)1000001 Ответ 2. 1)100100011 2)1000111110000 3)1001111 4)1011001 5)100 6)a)10001010 b)10000 Ответ 3. 1)100111100 2)101111000010 3)1000111 4)1110011 5)457 6)a)1000110000 b)1011011 Ответ 4. 1)1000111010 2)111011110011 3)101001 4)10001110 5)225 6)a)100000110 b)1011100 Ответ 5. 1)110011101 2)11110101000 3)10101010 4)11111 5)507 6)a)11100011 b)1010110 Ответ 6. 1)101001100 2)100011110000 3)10100101 4)1001101 5)541 6)a)11011101 b)101001 Ответ 7. 1)100001010 2)11011000000 3)10101111 4)111110 5)499 6)a)1001001100 b)11100 Ответ 8. 1)110010011 2)100111010100 3)1100001 4)111010 5)104 6)a)100111011 b)100011 Ответ 9. 1)111010010 2)1001100011011 3)11 4)100011 5)175 6)a)1000100111 b)1011100 Ответ 10. 1)100111000 2)1000001010111 3)10101001 4)110111 5)563 6)a)111000111 b)1000110 Ответ 11. 1)110001001 2)101001000000 3)100101 4)1011111 5)354 6)a)111101011 b)110101 Ответ 12. 1)110011111 2)11101111101 3)1101 4)1000001 5)509 6)a)110011011 b)1000011 Ответ 13. 1)111010010 2)101011110000 3)10010101 4)1001100 5)472 6)a)1000000000 b)111101 Ответ 14. 1)100110000 2)111001000100 3)1101 4)11101101 5)225 6)a)11001111 b)1011000 Ответ 15. 1)101001111 2)10001100010 3)1100001 4)11011 5)106 6)a)110110100 b)110000 Ответ 16. 1)11110010 2)111101110001 3)101 4)10010100 5)566 6)a)110111000 b)10101 Ответ 17. 1)111010111 2)1010001111110 3)10001 4)10001011 5)378 6)a)1000001100 b)1000001 Ответ 18. 1)111101111 2)110000110100 3)1110111 4)1101011 5)328 6)a)10000101 b)1000101 Ответ 19. 1)100011010 2)100000011111 3)100110 4)11101 5)239 6)a)1100100 b)110010 Ответ 20. 1)101101010 2)101011100100 3)111010 4)1111101 5)488 6)a)1000101000 b)101101 Ответ 21. 1)101011101 2)101000111110 3)1101 4)100001 5)463 6)a)111001000 b)111100 Ответ 22. 1)101110001 2)10110010010 3)10010001 4)1000101 5)505 6)a)11110001 b)1001111 Ответ 23. 1)100010101 2)10100010000 3)10111101 4)100101 5)520 6)a)1000011101 b)101111 Ответ 24. 1)111010101 2)1100101010000 3)1000101 4)1101011 5)241 6)a)110111000 b)11001 Ответ 25. 1)111001010 2)111100000000 3)10000001 4)111101 5)126 6)a)110110110 b)100011 Ответ 26. 1)101011111 2)101101000110 3)100001 4)10011111 5)303 6)a)101000011 b)1100010 Ответ 27. 1)100111010 2)100110010011 3)10011101 4)110001 5)481 6)a)1000111100 b)1001011 Ответ 28. 1)1000010010 2)100111101010 3)1111101 4)1011 5)104 6)a)111010100 b)11111 Ответ 29. 1)111101001 2)111010100000 3)10110010 4)1010110 5)105 6)a)1000011100 b)1010110 Ответ 30. 1)111110000 2)110110101000 3)1010101 4)11111110 5)494 6)a)1000101111 b)101110 Ответ 31. 1)101111010 2)1110110110 3)100111 4)101110 5)222 6)a)111100100 b)101101 Ответ 32. 1)101111011 2)101010110011 3)11111001 4)101001 5)185 6)a)10001100 b)10111 Ответ 33. 1)101000001 2)1011100011100 3)10000010 4)10010100 5)309 6)a)111101001 b)10110 Ответ 34. 1)111011110 2)11000001111 3)10100110 4)110010 5)250 6)a)110001101 b)1011100 Ответ 35. 1)100110111 2)100110101110 3)1101011 4)10111 5)516 6)a)101110011 b)10000 Ответ 36. 1)1000000110 2)1100000111101 3)1000011 4)110101 5)190 6)a)100100001 b)110111 Ответ 37. 1)101110010 2)11010010010 3)11001 4)1000011 5)210 6)a)101100110 b)11110 Ответ 38. 1)110001000 2)1001111101100 3)10011111 4)1001011 5)247 6)a)100111000 b)11110 Ответ 39. 1)101000001 2)11110100011 3)11111 4)11110101 5)224 6)a)101010000 b)100010 Ответ 40. 1)100111010 2)1001000010000 3)11110010 4)101011 5)174 6)a)11011100 b)100110 Ответ 41. 1)101010111 2)10111011000 3)10 4)101001 5)284 6)a)110100010 b)10111 Ответ 42. 1)110100101 2)101100010011 3)10 4)100010 5)308 6)a)1000010110 b)1100011 Ответ 43. 1)100000011 2)10011110101 3)10010010 4)10100 5)401 6)a)11001100 b)1011000 Ответ 44. 1)111001011 2)111100000011 3)100010010 4)111001 5)461 6)a)1000110100 b)110010 Ответ 45. 1)100111100 2)101111000010 3)1000111 4)1110011 5)457 6)a)1000110000 b)1011011 Ответ 46. 1)1000011110 2)1001100110010 3)1101 4)1001100 5)352 6)a)111110101 b)101011 Ответ 47. 1)111110101 2)111010000000 3)1000111 4)100101 5)568 6)a)11001100 b)10000 Ответ 48. 1)101000111 2)1011011000101 3)10110010 4)111111 5)436 6)a)100110111 b)11011 Ответ 49. 1)111001010 2)110100000100 3)10001011 4)11111 5)262 6)a)110100001 b)101001 Ответ 50. 1)111001011 2)11111001000 3)11011 4)110010 5)245 6)a)110111010 b)1000101 Ответ 51. 1)101000011 2)111000111000 3)11111110 4)1111010 5)107 6)a)110001011 b)111010 Ответ 52. 1)101001100 2)1101010001010 3)110011 4)1111101 5)596 6)a)10101110 b)100111 Ответ 53. 1)111110111 2)10110101111 3)1010110 4)10110011 5)337 6)a)100000110 b)111000 Ответ 54. 1)110001011 2)1001000001100 3)1101111 4)101011 5)496 6)a)111011110 b)1010010 Ответ 55. 1)110100001 2)11101011000 3)11 4)10011011 5)490 6)a)101111111 b)1001000 Ответ 56. 1)101010000 2)10001110100 3)10001110 4)10011001 5)223 6)a)100100110 b)110111 Ответ 57. 1)111011110 2)110100110100 3)10100100 4)10100110 5)157 6)a)10000100 b)1011000 Ответ 58. 1)111100000 2)101011000000 3)10011101 4)10010001 5)420 6)a)11111000 b)100011 Ответ 59. 1)1000011010 2)10011011010 3)110010 4)10110101 5)421 6)a)11000011 b)100110 Ответ 60. 1)1000010101 2)1011100011100 3)10 4)110111 5)168 6)a)101101100 b)1000010 Ответ 61. 1)111110000 2)1100111001 3)101011 4)11001 5)373 6)a)10010110 b)101001 Ответ 62. 1)110110000 2)10010110000 3)1001011 4)10010100 5)138 6)a)10110001 b)1011111 Ответ 63. 1)100100011 2)11000011110 3)110010 4)10111 5)446 6)a)100001110 b)10100 Ответ 64. 1)111000111 2)10001000100 3)10111 4)110011 5)473 6)a)101111101 b)1001001 Ответ 65. 1)1000111010 2)111011110011 3)1010001 4)10001110 5)225 6)a)100000110 b)1011100 Ответ 66. 1)111000010 2)1000001110110 3)11111 4)1011100 5)290 6)a)1001001010 b)100001 Ответ 67. 1)110110110 2)1000001101000 3)111111 4)10101 5)212 6)a)110010011 b)101110 Ответ 68. 1)110111001 2)101101111001 3)11 4)11001010 5)257 6)a)1001010010 b)110110 Ответ 69. 1)110001001 2)1010001011110 3)1000011 4)100010001 5)477 6)a)11110000 b)1001101 Ответ 70. 1)110000110 2)1100011110000 3)11010101 4)10001 5)226 6)a)10000000 b)1011010

 

Контрольная работа №2

Выполнить арифметические действия в 8-ичной системе счисления

Вариант 1. 1)124+136 2)656-124 3)27*54 4)347:25 5)(125-52)*16+(526+305):5 Вариант 3. 1)514+323 2)1015-227 3)42*15 4)1026:3 5)(315+413)*11+(6346-352):15 Вариант 5. 1)457+123 2)125364-32051 3)135*26 4)7425:451 5)(743+62)*15+(1555-243):21 Вариант 7. 1)712+364 2)5723-764 3)36*52 4)17636:325 5)(20151+375):526+(223-57)*31

Вариант 2. 1)621+357 2)1365-221 3)350*15 4)3446:75 5)(333+451)*16+(461-310):8 Вариант 4. 1)437+713 2)30136-27027 3)12345*75 4)113060:14 5)(36702+1067)*27-(7647776-3561012):41 Вариант 6. 1)3165+235 2)5320-1143 3)23*17 4)5463:57 5)(36705-1053)*12+(105-24):7 Вариант 8. 1)345+647 2)1157-321 3)16*42 4)2222:36 5)(22323+2345):36+(642-37)*27

 

Контрольная работа №3

Перевод из одной системы счисления в другую

Билет № 1.

3782(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

1679(10)->16-ную->2-ную->8-ную

21127(8)->10-ную->2-ную->16-ную

2313(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 2.

6348(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

5432(10)->16-ную->2-ную->8-ную

21566(8)->10-ную->2-ную->16-ную

2332(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 3.

42345(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

4321(10)->16-ную->2-ную->8-ную

4043(8)->10-ную->2-ную->16-ную

1423(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 4.

125(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

3467(10)->16-ную->2-ную->8-ную

3541(8)->10-ную->2-ную->16-ную

1412(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 5.

1889(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

3102(10)->16-ную->2-ную->8-ную

6613(8)->10-ную->2-ную->16-ную

3143(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 6.

2238(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

21257(10)->16-ную->2-ную->8-ную

44717(8)->10-ную->2-ную->16-ную

1013(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 7.

2357(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

4568(10)->16-ную->2-ную->8-ную

7645(8)->10-ную->2-ную->16-ную

342(5)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

145,65(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

77,125(8)->8-ную->2-ную->16-ную

Билет № 8.

4312(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

7143(10)->16-ную->2-ную->8-ную

6734(8)->10-ную->2-ную->16-ную

541(6)->10-ную->8-ную->2-ную->16-ную

315,125(10)->8-ную ->2-ную->16-ную

375,75(8)->10-ную->2-ную->16-ную

 

Приложение 4.

Упражнения.

1. Как представить на пальцах 4-чную систему счета и до скольки можно досчитать на пальцах при 4-чном представлении? (Ответ: 1048575).

2. Как представить на пальцах 5-чную систему счета и до скольки можно досчитать на пальцах при 5-чном представлении? (Ответ: 9515625).

Для облегчения освоения систем счета можно применить школьные счеты. Для этого нужно отгородить линейкой нужное число костей. Так, например, для представления троичной системы чисел отгораживаем по три кости слева и для представления числа 254 в троичной системе используем запись 100102 на счетах.

0 00 0 00 00 0

 

Литература

1. Бубнов Н.М. Происхождение и история наших цифр. Киев: Тии. С.В.Кульженко, 1908.

2. Нури Юсупов. Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке. Казань, Татиздат, 1933.-17с.

3. Гордлевский В.А. Числительное 50 в турецком языке //Известия акад. Наук союза ССР, отд. Лит-ры и яз., 1945, том 4, вып. 3-4, стр.285-303.

4. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. (Отв. Ред. акад. АН УзССР С.Х.Сираждинов). Т., «Фан», 1967.-344с. (Акад. Наук УзССР. Ин-т мат-ки им. В.И.Романовского). Библиогр. стр.321-332.

5. Вопросы истории и методики преподавания математики. Отв. Ред. Э.Д Салимова. Казань, «Татполиграф», 1968,с.-140.

6. Матвиевская Г.П. Развитие учения о числе в Европе до 17 века. Ташкент, «Фан», 1971.-231с. (АН УзССР Ин-т мат-ки им. В.И.Романовского).

7. Христоматия по истории математики. Отв.ред. Юшкевич А.П. Москва, «Просвещение», 1976.-318с.

8.Математика и астрономия в трудах ученых средневекового Восток. Отв. Ред. акад. АН УзССР С.Х.Сираждинов. Ташкент, «Фан», 1977.-144с. (АН УзССР Ин-т мат-ки им. В.И.Романовского).

9. Матвиевская Г.П., Тлашев Х. Математические и астрономические рукописи ученых Средней Азии 10-17вв. Ташкент, «Фан», 1981.-с.-148.

10. Матвиевская Г.П., Тлашев Х. Математические и астрономические рукописи ученых Средней Азии X-XVIII вв. Ташкент, изд-во «Фан», 1989.

11. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980.-с.310

12. Бобынин В.В. Математика древних египтян //издание журнала «Математический листок», М.: 1982.-с.198.

13. Из истории средневековой Восточной математики и астрономии. Отв. Ред. акад. АН УзССР С.Х.Сираждинов. Ташкент, «Фан», 1983.-с.176. (АН УзССР Ин-т мат-ки им. В.И.Романовского).

14. Беркутов В.М. Развитие математического образования татарского народа (10-нач.20вв): Автореф. дис. Д-ра пед. наук.- Казань, 1993.-34с./КГУ

15. Мухаметдинов Р.Ф. К этимологии тюркских числительных первого десятка. /Сб. «Проблемы лингвоэтноистории татарского народа». Кахань: 1995.-с.163-178.

18. Хадиев Р.М., ЯкушевР.С., Сабирова Г.А. К вопросу о происхождении современных цифр. Сб.: Международная конференция «Казанское востоковедение: традиции, современность, перспективы». Казань. 1996.-197-202с.

Методический материал:

Хадиева А.В. Информатика для младших классов. Для 1-3 классов.

Ануфриева А.И. Хадиев Р.М. Системы счисления. Для 8 класса.

Ануфриева А.И. Хадиев Р.М. Элементы математической логики. Для 9 класса.

Ануфриева А.И. Хадиев Р.М. Алгоритмы и их свойства. Для 9 класса.

Ануфриева А.И. Хадиев Р.М. Контрольные работы. Для 10-11 классов.

Гарапов А.Ф., Хадиев Р.М., Хадиева А.В. Язык программирования Паскаль. Первый год обучения. Для 10 класса.

Сулейманов Д.Щ., Хадиев Р.М., Якушев Р.С. Основы информатики и издательское дело. Для 11 класса.

Бахтиева Л.У., Хадиев Р.М., Якушев Р.С. Современные методы визуализации. Для 11 класса.

Ануфриева А.И. Хадиев Р.М., Сулейманов Д.Ш. Кружковая работа. Для 9-10 классов.

Хадиев Р.М. и др. Программно-методический комплекс по программированию ДИОС

Гизатуллина Ч.Р., Хадиев Р.М., Хадиева А.В. Программно-методический комплекс по информатике для младших классов «ТАПКЫР»

Содержание

I. Понятие системы счисления 4

II. Алгоритмы перевода 10

III. Арифметические операции 20

IV. Форма представления чисел 23

ПРИЛОЖЕНИЯ 25

1. Представления чисел до 50 в основных системах счисления

2. Таблицы арифметических операций

3. Контрольные работы

4. Не пальцы ли первый компьютер?

ЛИТЕРАТУРА 52

I. Понятие системы счисления

Программирование для компьютера и их конструкция тесно связаны с системами счисления, т.к. компьютеры оперируют с информацией, представленной в цифровом виде.