Перевод из P-ичной в Q-ичную систему счисления.

Перевод производится из P-ичной в 10-чную и получившееся число из 10-чной в Q-ичную

Например:

123 ₇ à 66 ₁₀ à 1000010 ₂

Если десятичное число достаточно большое, то можно порекомендовать следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

Число
Делитель Остаток

363₁₀ = 101101011₂

4. Перевод чисел из систем счисления с основанием 2ⁿ в систему счисления с основанием 2 и обратно.

Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам.

Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Пример 1. Число 101100001000110010₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062₈.

Пример 2. Число 1000000111110000111₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

		F

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 40F87₁₆.

Для того чтобы дробное двоичное число (целая часть равна нулю) записать в системе счисления с основанием q = 2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой:

2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Пример 3. Число 0,10110001₂ перевести в восьмеричную систему счисления. Трехзначное двоичное число, предназначенное для изображения одной восьмеричной цифры, называется триадой.

Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

000, 101 100 010

0, 5 4 2

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542₈.

Пример 4. Число 0,100000000011₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Четырехзначное двоичное число, предназначенное для изображения одной шестнадцатеричной цифрой, называется тетрадой.

Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0000, 1000 0000 0011

0, 8 0 3

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,803₁₆.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе с основанием q=2ⁿ, нужно:

1) данное двоичное число разбит справа налево – целую часть и слева направо – дробную часть на группы по n цифр в каждой;

2) если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2^n.

Пример 5. Число111100101,0111₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

Трехзначное двоичное число, предназначенное для изображения одной восьмеричной цифры, называется триадой.

Разбиваем число справа налево целую часть и слева направо дробную часть на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

111 100 101, 011 100

7 4 5, 3 4

Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34₈.

Пример 6. Число 11101001000,11010010₂ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем число справа налево целую часть и слева направо дробную часть на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

0111 0100 1000, 1101 0010

7 4 8 D 2

Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2₁₆.

Пример 7. 1111 0100 1000, 1101 0010₂

F 4 8 D 2₁₆

Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2ⁿ, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

Пример 8. Переведите шестнадцатеричное число 4AC35₁₆ в двоичную систему счисления.

В соответствии с алгоритмом:

4 A C 3 5

0100 1010 1100 0011 0101

Получаем 1001010110000110101₂.

Описанные алгоритмы позволяют достаточно быстро и просто осуществлять переводы десятичных чисел в двоичную систему счисления и обратно с использованием в качестве промежуточной восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления.

Пример 9. Перевести десятичное число 172 в восьмеричную систему счисления, затем в двоичную систему счисления.

173 8

5 21 8

5 2 173₁₀=255₈=10101101₂.

Пример 10. Перевести десятичное число 173 в шестнадцатеричную систему счисления, затем в двоичную систему счисления.

173 16

13 10 173₁₀=AD₁₆=10101101₂.

(D) (A)

Приведенные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую представляют собой достаточно трудоемкий процесс. В современных ЭВМ перевод чисел из одной системы счисления в другую осуществляется машиной автоматически специальными программами или аппаратно микросхемами.

Задания

1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

1)513 2)600 3)602 4)1000

5)2304 6)500 7)7000 8)8192

Ответ:

1)1000000001 2)1001011000 3)1001011010 4)1111101000

5)100100000000 6)1001110001001 7)1101101011000 8)10000000000000.

2. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками после запятой):

1)0,011101 2)0,100001 3)0,100101 4)0,100111

5)0,101111 6)0,110011 7)0,110110 8)0,111011

3. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную систему счисления:

1)40,5 2)31,75 3)124,25

Ответы: 1)101000,1 2)11111,11 3)1111100,01

4. Переведите целые числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:

1)8700 2)8888 3)8900 4)9300

Ответы: 1)20774 2)21270 3)21304 4)22124

5. Переведите целые числа из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления:

1)266 2)1023 3)1280 4)2041

Ответы: 1)10A 2)3FF 3)500 4)7F9

6. Переведите числа из десятичной в восьмеричную систему счисления:

1)0,43 2)37,41 3)2936 4)481,625

Ответы: 1)0,3341… 2)45,32 3)5570 4)741,5

7. Переведите числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

1)0,17 2)43,78 3)25,25 4)18,5

Ответы: 1)0,2B8… 2)2B,C7 3)19,4 4)12,8

8. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:

1)1010001001011 2)1011001101111 3)110001000100

4)1010,00100101 5)1110,01010001 6)1000,1111001

Ответы:

1)12113 2)13157 3)6104 4)12,112 5)16,242 6)10,744

9. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1)1010001001011 2)1011001101111 3)110001000100

4)1010,00100101 5)1110,01010001 6)100,1111001

Ответы:

1)144B 2)166F 3)C44 4)A,25 5)E,51 6)4,F2

10. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:

1)266₈ 2)1270₈ 3)10,23₈

4)266₁₆ 5)2A19₁₆ 6)10,23₁₆

Ответы:

1)10110110 2)1010111000 3)1000,010011

4)1001100110 5)10101000011001 6)10000,00100011