Перевод числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему счисления

Правило 3. Для перевода числа из какой-либо позиционной системы в десятичную систему его представляют, используя позиционную запись числа, как сумму произведений соответствующих цифрна степени основания р, которую затем подсчитывают.

Пример. Двоичное число 1101011 перевести в десятичную систему счисления

6 5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 0 1 1 ₂ = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 107₁₀

Перевести в десятичную систему счисления восьмеричную дробь, в десятичном числе представлены только 4 значащие цифры.

Взаимосвязь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Связь между восьмеричными и двоичными числами определяется следующим соотношением: 2³ = 8. Поэтому каждому восьмеричному числу соответствует группа из 3-х двоичных цифр, триада. Это соотношение и определяет правило перевода из восьмеричной в двоичную систему счисления и наоборот.

Правило 4. Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления двоичное число, начиная от десятичной запятой, влево и вправо разбивается на триады. Если крайние триады оказались неполными, то их дополняют приписыванием нулей. Каждая триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой.

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему каждая цифра восьмеричного числа заменяется соответствующей ей триадой в двоичной системе счисления.

Связь между шестнадцатеричными и двоичными числами определяется соотношением: 2⁴ = 16, т.е. каждому шестнадцатеричному числу соответствует группа из 4-х двоичных цифр, тетрада.

Правило 5. При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления число разбивается на тетрады. И каждая тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой.

Аналогично производится и обратный перевод.

Пример. Двоичное число 1100101111 перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем на триады, начиная справа, 1 100 101 111. Дополняя до полной триады, получаем, 001 100 101 111. Заменяя триады восьмеричными числами (табл.1), получаем ответ:

1 100 101 111₂ = 1457₈

Пример. Двоичное число 0,1101101101 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Разбиваем на тетрады, начиная слева от запятой, 0, 1101 1011 01. Дополняя до полной тетрады, получаем, 0,1101 1011 0100. Заменяя тетрады шестнадцатеричными цифрами (табл.1), получаем ответ:

0,1101 1011 01₂ = 0,DB4₁₆

Таблица 1. Соответствие натуральных рядов чисел в разных системах счисления

Десятичная система счисления	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцатиричная система счисления
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Задачи для самостоятельного решения

1. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 147, 522, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

2. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является наибольшим (наименьшим)?

3. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [101101₂; 110000₂];

б) [14₈; 20₈];

в) [38₁₆; 40₁₆].

4. В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

5. Запишите в порядке возрастания числа 223₄, 677₈, 2222₃, 1001₂.

6. Осуществите перевод чисел 16547,01 и 345,61 по схеме: A₁₀→ A₁₆→ A₂→ A₈ (с точностью до второго знака после запятой).

7. Сколько разрядов будет в числе, если записать его в восьмеричной системе счисления?

а) 10111010;

б) 11001111000111.

8. Выполнить перевод чисел из одной системы счисления в другую:

567,54₁₀ ®А₂, А₈, А₁₆;

10100,01001₂ ® А₁₆, А₈, А₁₀.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Двоичная система счисления

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам:

+

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид:

-

0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

1001110100111. 0110		11011001. 011
+ 10001011. 1001		- 100110. 100
1010000110010. 1111		10110010. 111

Пример.

 

 

Как и в случае десятичных чисел, умножение бинарных (двоичных) чисел производится путем поразрядного умножения с последующим суммированием; положение десятичной точки определяется также аналогично. Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид:

×

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей. Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид:

0: 0 = не определено,

1: 0 = не определено,

0: 1 = 0,

1: 1 = 1.