Системы счисления и понятие кода

 

Как уже отмечалось, в процессе переработки информации цифровые ЭВМ - компьютеры, оперируют числами, которые представляются в некоторой системе счисления.

Система счисления - это совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Запись числа в некоторой системе счисления часто называют кодом числа.

Элементы (символы) алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, принято называть цифрами. Каждой цифре данного числа однозначно сопоставляется ее количественный (числовой) эквивалент.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления - это система, для которой значение символа, т.е. цифры, не зависит от его положения в числе. К таким системам относится, в частности, римская система (правда с некоторыми оговорками). Здесь, например, символ V всегда означает пять, вне зависимости от места его появления в записи числа. Есть и другие современные непозиционные системы.

Позиционная система счисления - это система, в которой значение каждой цифры зависит от ее числового эквивалента и от ее места (позиции) в числе, т.е. один и тот же символ (цифра) может принимать различные значения.

Наиболее известной позиционной системой счисления является десятичная ситема счисления. Например, в десятичном числе 555 первая цифра справа означает 5 единиц, соседняя с ней - 5 десятков, а левая - 5 сотен.

В связи с тем, что в цифровых автоматах в основном используются позиционные системы счисления, то мы в дальнейшем будем рассматривать только такие системы.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание или базис q естественной позиционной системы счисления это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

Поэтому, возможно бесчисленное множество позиционных систем, т.к. за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Когда мы представляем, т.е. записываем некоторое число в позиционной системе счисления мы размещаем соответствующие цифры числа по отдельным нужным позициям, которые принято называть разрядами числа в данной позиционной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа и совпадает с его длиной.

В позиционной системе счисления справедливо равенство:

 

Aq = anqn + an -1 qn -1 +... + a 1 q 1+ a 0 q 0+ a -1 q -1+... + a - mq - m, (2.1)

или

=

 

где A qэто произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a i - коэффициенты ряда, т.е. цифры системы счисления; n, m - количество целых и дробных разрядов соответственно.

Например, согласно (2.1)

1961,3210 = 1103+ 9102 + 6101 + 1100 + 310-1 + 210-2,

124=5378= 182+ 281 + 480 + 58-1 + 38-2 + 78-3,

1001,11012= 123+ 022 + 021 + 120 + 12-1 + 12-2 + 02-3 + 12-4.

 

Индекс, приписываемый к числу, указывает систему счисления, в которой представлено данное число.

Основание системы счисления показывает сколько различных значений в пределах i -того разряда может принимать каждая цифра aiчисла A. Номера разрядов в позиционной системе счисления отсчитываются в целой части влево от запятой, а в дробной - вправо от запятой. Причем, нумерация разрядов начинается с 0. Величина основания позиционной системы счисления определяет ее название: для десятичной системы это будет 10, для восьмеричной - 8, для двоичной - 2 и т.д. Как уже отмечалось, обычно вместо названия системы счисления используют термин " код числа ". Например, под понятием двоичный код подразумевается число, представленное в двоичной системе счисления, под понятием десятичный код - в десятичной системе счисления и т.д.

Для записи числа в десятичной системе используется 10 различных цифр от 0 до 9:

a 10 = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)=

 

в шестнадцатеричной - 16:

 

a 16 = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)=

 

где A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15,

 

в восьмеричной - 8:

a 8 = (0,1,2,3,4,5,6,7)=

в двоичной - 2:

a 2 = (0,1)\

 

Согласно (2.1) каждый разряд числа в двоичной системе счисления слева от запятой представляется двойкой в соответствующей положительной степени, а справа от запятой - двойкой в отрицательной степени. Например:

 

24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

16 8 4 2 1, 0,5 0,25 0,125 0,0625

 

Примеры представления чисел в различных системах счисления:

1010= 10102 = 128 = A16

1610 = 100002 = 208 = 1016

25510 = 111111112 = 3778 = FF16

Для обработки информации в компьютере обычно используется двоичная система счисления. Это объясняется, в частности, тем, что для размещения чисел (операндов) в компьютерах используются регистры и ячейки памяти, состоящие из триггеров или элементов с триггерной характеристикой, которые, как известно, имеют два устойчивых состояния. Одному из этих состояний ставится в соответствие 1, а другому - 0. Каждый из триггеров отводится для размещения наименьшей информационной единицы в двоичной системе счисления - двоичного разряда, который называется битом. Восемь бит есть байт.

Количество триггеров, т.е. двоичных разрядов, в регистре или ячейке памяти определяет длину слова, характерную для данного компьютера, а совокупность этих двоичных разрядов называется разрядной сеткой. Номер разряда такой сетки, отведенной для изображения целого числа в двоичной системе счисления, совпадает с соответствующим показателем степени двойки.

Таким образом, длина числа - это количество позиций (или разрядов) в записи числа. Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа. Например, 9610 = 1408 = 11000002, т.е. чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

В любых цифровых автоматах длина разрядной сетки выбранной системы счисления фиксированна, что принципиально ограничивает точность и диапазон представления чисел.

Пусть длина разрядной сетки равна любому положительному числу, например n. Тогда

(Aq)max = qn - 1; (Aq)min = -(qn - 1)

 

Например, в двоичной системе счисления, если n = 3, то (A2)max = 1112 = 710, т.е. максимальное положительное число, которое может быть записано есть 7, а минимальное -7, представление которого в двоичной системе будет обсуждаться позже.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, значение которых, как мы видим, зависит от длины разрядной сетки.

Вес разряда Pi числа в позиционной системе счисления - это отношение

 

Pi = q i/ q 0 = q i

 

где i - номер разряда справа налево, а q 0 это первый разряд и его номер равен 0, а значение равно 1.

Если в данном разряде накопилось значение единиц равное или больше q, то должна происходить передача единицы в соседний старший разряд. При сложении чисел, представленных в любой позиционной системе счисления, такие передачи информации называют переносами, а при вычитании - заемами. Передача переносов и заемов происходит последовательно от разряда к разряду. Эти процедуры хорошо известны всем из правил арифметических действий с десятичными числами.

Помимо обычной двоичной системы счисления были предложены двоичные системы счисления, в которых для изображения чисел используются символы 1, -1 или 0, -1. Существуют еще, так называемые, избыточные двоичные системы счисления, например, с символами 0, 1, -1. Но на практике в подавляющем большинстве случаев используется обычная двоичная система счисления.

При обмене данными между компьютером и внешними устройствами возникает необходимость в обмене знаковыми и буквенными символами. Этим символам в компьютере также ставится в соответствие некоторый код в двоичной системе счисления. Для представления цифр и букв в двоичной системе в настоящее время наиболее распространен код ASCII. Для представления любого символа в этом коде отводится 8 двоичных разрядов, т.е. один байт.

Примеры кода ASCII приведены в таблице 2.1.

Т а б л и ц а 2.1.

Символы Десятичный код Двоичный код Восьмерич-ный код Шестнадцате-ричный код

0 48 0110000 060 30

1 49 0110001 61 31

2 50 0110010 62 32

A 65 1000001 101 41

B 66 1000010 102 42

F 70 1000110 106 46

: 58 0111010 72 3F

(40 0101000 50 28

 

 

Выбор системы счисления

При выборе системы счисления для ЭВМ необходимо учитывать, что во-первых, основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь функциональный элемент, выбранный для изображения разрядов числа; во-вторых - длина числа существенно зависит от основания системы счисления; в третьих - система счисления должна обеспечить простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.

Если имеется n разрядов для изображения числа в q -ичной системе счисления, то тогда максимальное число М, которое можно изобразить в пределах данной разрядной сетки, будет равно:

 

M = q n - 1 q n

 

Для оценки экономичности системы счисления с точки зрения затрат оборудования цифрового автомата вводится соответствующий показатель:

 

N = qn

 

Из приведенных равенств следует, что N = q lnM / ln q. Используя полученную зависимость, можно найти основание системы счисления, при которой требуется минимум оборудования. Определив dN/d q и приравняв ее к нулю, получим экстремум при q = e. Но е не целое число, поэтому нужно использовать системы с q = 2 или q = 3. Эти системы практически равноценны, т.к.

 

N2/ N3 = 2ln3 / 3ln2 1.056

 

Подобное сравнение десятичной и двоичной систем счисления показывает, что десятичная в 1.5 раз менее экономична двоичной.

Наиболее удобны условия реализации двоичных цифр, т.к. физических процессов, имеющих два устойчивых состояния, гораздо больше, чем процессов с числом четко различимых состояний больше двух. К тому же в процессах с двумя устойчивыми состояниями различие между этими сотояниями носит качественный, а не количественный характер, что обеспечивает надежную реализацию двоичных цифр.

Таким образом, простота арифметических и логических действий, минимум используемого оборудования для представления чисел и наиболее удобные условия реализации только двух устойчивых состояний определили применение двоичных систем счисления практически во всех существуюющих и проектируемых цифровых вычислительных машинах.