Позиционные системы счисления

Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Позиционная система счисления определяется целым числом , которое называется основанием системы счисления. Система счисления с основанием также называется -ичной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Представление числа

Целое число без знака в системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

,

где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Каждый базисный элемент в таком представлении называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (позиции) (значением показателя степени).

Например, число сто три в десятичной системе счисления и в восьмеричной системе счисления записываются почти одинаково, а представляются по разному:

Запись числа

Число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

В ненулевых числах левые нули обычно опускаются.

Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:

 

Построение такой записи числа называют позиционным кодированием числа, а саму запись — позиционным кодом числа.

Примеры

· 1 — единичная (унарная) система счисления, может рассматриваться как вырожденный случай позиционной системы счисления,

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании)
• 3 — троичная система счисления
• 4 — четверичная система счисления
• 8 — восьмеричная (в программировании)
• 10 — десятичная система счисления
• 12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас)
• 16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах)
• 40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности: в частности, «сорок сороков» = 1600)
• 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты, измерение времени)

Перевод вещественного числа из десятичной системы счисления в двоичную систему

 

Рассмотрим число 567.25 и переведем его в двоичную систему счисления.

Перевод целого числа из десятичной системы
счисления в двоичную систему

 

Целая часть числа равна 567. Будем последовательно делить это число, а затем частное на 2 до тех пор, пока это возможно, фиксируя при этом остаток от деления:

567:2 = 283 (остаток 1)

283:2 = 141 (остаток 1)

141:2 = 70 (остаток 1)

70:2 = 35 (остаток 0)

35:2 =17 (остаток 1)

17:2 = 8 (остаток 1)

8:2 = 4 (остаток 0)

4:2 = 2 (остаток 0)

2:2 = 1 (остаток 0)

Теперь запишем число, начиная с последнего частного, приписывая ему остатки в противоположном порядке. Получим

 

567₁₀ = 1000110111₂

Эти же операции можно записать последовательным делением в столбик:

Перевод дробной части вещественного числа из
десятичной системы счисления в двоичную

 

Дробную часть, а затем дробные части получающихся произведений следует последовательно умножать на 2 до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной нулю или не будет достигнута нужная точность дроби.

Целые части полученных произведений, записанные последовательно слева направо после запятой в искомом числе, образуют дробную часть искомого числа.

Переводим дробную часть числа:

0.25 * 2 = 0. 50.

0.50 * 2 = 1. 00 (дробная часть числа равна 0, стоп).

Записываем последовательно слева направо целые части полученных произведений

0.25₁₀ = 0.01₂

Таким образом

567.25₁₀ = 1000110111.01₂