Абсолютно непрерывные функции и неопределенный интеграл Лебега

1. Абсолютно непрерывные функции

 

Конечная на отрезке функция называется абсолютно непрерывной, если для любого существует такое , что для любой конечной системы не пересекающихся интервалов , для которой

Выполняется неравенство

Последнее неравенство, на самом деле, можно заменить на более сильное неравенство

Конечную систему интервалов можно заменить также на счетную систему интервалов. Множество абсолютно непрерывных функций обозначим .

Очевидно, что абсолютно непрерывная функция является непрерывной, но не наоборот. Простейшим примером абсолютно непрерывной функции является функция, удовлетворяющая условию Липшица

Отметим следующие свойства абсолютно непрерывных функций:

1. Если , то Если не обращается в нуль, то

2. Если , а удовлетворяет условию Липшица, то .

3. Если , то .

4. Абсолютно непрерывная функция имеет почти всюду конечную производную.

Если производная абсолютно непрерывной функции почти всюду равна нулю, она является константой.

Говорят, что функция обладает своством , если она множество меры нуль переводит в множество меры нуль. Только такие функции измеримые множества переводят в измеримые множества.

5. Абсолютно нерерывные функции облавдают свойством .

6. Теорема Банаха – Зарецкого. Функция является абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную вариацию и обладает свойством .

7. Теорема Фихтенгольца. Пусть . Тогда

 

2. Неопределенный интеграл Лебега

 

Если , то функция называется неопределенным интегралом функции .

Из абсолютной непрерывности интеграла Лебега вытекает теорема.

Теорема 1. Неопределенный интеграл является абсолютно непрерывной функцией.

Из этой теоремы и свойств абсолютно непрерывных функций неопределенный интеграл имеет конечную производную почти всюду. Но в этом можно утверждать большее.

Теорема 2. Производная неопределенного интеграла почти всюду равна подынтегральной функции .

Из этой теоремы в качестве следствия получаем, что абсолютно непрерывная функция является неопределенным интегралом своей производной.

В каких точках существует производная неопределенного интеграла? Точка называется точкой Лебега функции , если

Нетрудно убедиться, что каждая точка непрерывности является точкой Лебега.

Теорема 3. Неопределенный интеграл имеет производную в каждой точке Лебега функции , равную

Теорема 3 доказывается легко. Более сложным является утверждение.

Теорема 4. Если , то почти каждая ее точка является точкой Лебега.

Для неопределенного интеграла легко подсчитать ее полную вариацию.

Теорема 5. Если , , то , то есть полное изменение абсолютно непрерывной функции равно интегралу от модуля ее производной.

 

3. Разложение функций ограниченной вариации

 

Ранее мы показали, что функция ограниченной вариации представляется в виде суммы функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации: Функция почти всюду имеет производную Положим . Она является абсолютно непрервной и для непрерывной функции почти всюду . Такую функцию мы ранее назвали сингулярной. Итак, для функции ограниченной вариации мы установили следующее разложение, называемое разложением Лебега.

Теорема 6. Если , то страведливо разложение

где - функция скачков, - абсолютно непрерывная функция, - сингулярная функция. Если функция - неубывающая, то функции - также неубывающие.

 

Восстановление первообразной функции

 

Пусть непрерывная функция на отрезке всюду имеет производную . Как по производной восстановить функцию . В курсе математического анализа доказывается, что если , то

, (1)

в котором интеграл понимается по Риману. Но производная, даже ограниченная, может быть не интегрируемой по Риману. Оказывается, что в случае ограниченности производной функцию можно восстановить по формуле (1) с помощью интеграла Лебега. Справедливо даже более сильное утверждение.

Теорема 7. Если для функции всюду существует конечная производная , то для нее справедливо равенство (1), в которм интеграл понимается по Лебегу.

Но производная функции может существовать всюду и не быть интегрируемой по Лебегу. Таким образом, интеграл Лебега не полностью решает задачу восстановления первообразной функции по ее производной. Это делает интеграл Перрона – Данжуа.

 

Библиографический список

 

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: учеб. пособие. – 7-е изд. – М.: Физматлит, 2004. – 572с.

2. Действительный анализ в задачах: учеб. пособие для вузов / П.Л. Ульянов [и др.] – М.: Физматлит, 2005. – 416с.

3. Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега: учеб. пособие. – Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.

4. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Действительный анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).

5. Методические указания к самостоятельной работе студента по дисциплине «Действи000тельный анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).