Функции ограниченной вариации. Их свойства

 

1. Определение функции ограниченной вариации

 

Пусть - конечная функция, - разбиение отрезка , .

Величину назовем полным изменением функции на отрезке . Если , то функцию назовем функцией ограниченной вариации. Множество всех таких функций обозначим .

Не всякая непрерывная функция будет функцией ограниченной вариации. Такой функцией является, например, следующая функция:

С другой стороны, функция ограниченной вариации не обязана быть непрерывной. Мы увидим, что любая монотонная функция является функцией ограниченной вариации и она может иметь счетное число точек разрыва первого рода.

 

2. Свойства функций ограниченной вариации

 

Отметим следующие свойства функций ограниченной вариации:

1. Функция ограниченной вариации ограничена.

Действительно, для любого

2. Монотонная функция является функцией ограниченной вариации.

Действительно, для любого разбиения

Поэтому

3. Если , то Если к тому же , то

Действительно, если , то

, ,

4. Если , то для любого

5. Функция является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она представляется в виде разности двух неубывающих функций.

Достаточность вытекает из свойств 2,3. Для доказательства необходимости рассмотрим функцию

По свойству 4 она неубывает. Покажем, что функция также неубывает. Если , то по свойству 4

Следствие. Функция ограниченной вариации имеет не более чем счетное число точек разрыва.

 

3. Принцип выбора Хелли

 

В приложениях важна теорема Хелли, называемая принципом Хелли. Сначала приведем две леммы.

Лемма 1. Пусть на отрезке задано бесконечное равномерно ограниченное семейство функций . Для любого счетного множества из семейства можно выделить последовательность функций, сходящуюся в каждой точке

Лемма 1 доказывается с помощью теоремы Больцано-Вейерштрасса и диагонального процесса Кантора.

Лемма 2. Пусть на отрезке задано бесконечное равномерно ограниченное семейство неубывающих функций . Тогда из семейства можно выделить последовательность функций, сходящуюся в каждой точке отрезка к неубывающей функции.

При доказательстве леммы 2 применяется лемма 1 для множества рациональных точек на отрезке . Из леммы 2 и своства 5 вытекает следующая теорема.

Теорема Хелли. Пусть на отрезке задано бесконечное семейство функций , причем для некоторого и всех функций этого семейства выполнены неравенства

.

Тогда из семейства можно выделить последовательность функций, сходящуюся на отрезке к функции ограниченной вариации.

 

4. Непрерывные функции ограниченной вариации

 

Для непрерывных функций ограниченной вариации свойство 5 можно уточнить:

1. Если , то функция .

2. Если , то она может быть представлена как разность двух неубывающих непрерывных функций.

Наряду с величиной рассмотрим величину

Очевидно, что . Тем не менее, справедливо утверждение.

3. Если , то

 

ЛЕКЦИЯ 15

Интеграл Римана - Стилтьеса

 

1. Определение интеграла Римана - Стилтьеса

 

Пусть на отрезке заданы две конечные функции и , - разбиение отрезка , точки осуществляют разметку разбиения , - мелкость или диаметр разбиения. Составим сумму

Число называется интегралом Римана - Стилтьеса на отрезке от функции по функции (пишут ), если существует

не зависящий от разметки, то есть если для любого существует такое, что для любого разбиения , и любой его разметки выполняется неравенство:

Множество пар функций , для которых существует интеграл Римана – Стилтьеса, обозначим

 

2. Свойства интеграла Римана – Стилтьеса

 

Отметим свойства интеграла, вытекающие из его определения:

1.

2.

3.

4. Для любого

если интеграл слева существует.

5. Из существования одного из интегралов вытекает существование другого интеграла и равенство

Последнее равенство называется формулой интегрирования по частям.

6. Если , , то и справедлива оценка

7. Если и существует в каждой точке , то

.

8. Если , , , , , то

 

3. Предельный переход для интеграла Римана – Стилтьеса

 

Для предельного перехода под знаком интеграла Римана – Стилтьеса приведем две теоремы.

Теорема 1. Пусть , и на . Тогда

 

Теорема 2. Пусть , , на и . Тогда и

 

ЛЕКЦИЯ 16