Сравнение интегралов Римана и Лебега

1. Интеграл Летега сильнее интеграла Римана

 

Напомним построение интеграла Римана. Пусть функция ограничена на . Если имеется разбиение

то определим две -простые функции

.

Имеем

верхняя и нижняя суммы Дарбу. Известно, что для интегрируемой по Риману функции ее интеграл

. (10.1)

Пусть — множество всех -интегрируемых (интегрируемых по Лебегу) на отрезке функций, — интеграл Лебега.

Теорема 10.1. Если функция , то и

.

Доказательство. Возьмем последовательность разбиений отрезка такую, что () и являются измельчением (). Пусть

.

Нетрудно убедиться, что

,

поэтому существуют измеримые функции

.

Для них . По теореме Лебега 9.3 и (10.1)

поэтому для неотрицательной функции

.

Так как -п.в., то -п.в., и

.

Теорема доказана.

Для функции Дирихле

-п.в., поэтому , но .

 

2. Критерий Лебега существования интеграла Римана

 

Теорема 10.2 (А.Лебег). Пусть функция ограничена на . Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы множество точек разрыва функции на имело -меру нуль.

Доказательство. Необходимость. Пусть — множество точек разрыва на , — множество таких для которых не выполняется хотя бы одно из равенств , . В теореме 10.1 было показано, что . Если разбиение , то пусть . Очевидно, что .

Покажем, что . Пусть , . Найдутся такие, что

и при некотором

.

Тогда для любого

,

что доказывает непрерывность в точке .

Достаточность. По условию , где . Возьмем произвольное и . Так как непрерывна в точке , то в некоторой окрестности . Выберем последовательность разбиений отрезка с (), . Существуют и , для которых . В таком случае . Ввиду произвольности и условия

,

получаем ; причем это выполнено для всех . Следовательно, -п.в., функции -измеримы и, ввиду ограниченности, -интегрируемы. Так как при

то существует единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу для функции . Это доказывает, что .

Отметим, что для любой непрерывной или монотонной ограниченной .

Интегрируемая по Риману функция может иметь несчетное множество точек разрыва. Пусть — канторово множество на , и

Если , то в силу открытости найдется окрестность . Следовательно, тождественно равна нулю на и непрерывна в . Таким образом, все точки разрыва содержатся в . Так как , то по теореме 10.2 .

Покажем, что каждая точка из является точкой разрыва функции . Действительно, если , то . Но в любой окрестности найдутся точки из , в которых принимает значение 0. Это доказывает, что разрывна в . Остается вспомнить, что — несчетное множество.

Несобственный интеграл Римана и интеграл Лебега несравнимы. Однако для положительных функций интеграл Лебега сильнее несобственного интеграла Римана.

 

ЛЕКЦИЯ 14