Продолжение меры. Мера Бореля. Пополнение меры. Мера Лебега

 

1. Продолжение меры

 

Пусть , — меры, определенные соответственно на и . Меру называют продолжением , если и для любого . Согласно данного определения продолжение -конечной меры является -конечной мерой.

Можно ли меру на полукольце расширить на более широкий класс множеств, замкнутый относительно некоторых операций? Единственно ли это продолжение, если оно существует?

Ответы на эти вопросы дает следующая теорема, которая приводится без доказательства.

Теорема 3.1. Пусть — -конечная мера на полукольце . Существует единственное продолжение до меры на , при этом для всякого

.

Теорема 3.2. Если мера на является продолжением меры на кольце , то для любых , , существует такое, что

.

Доказательство. По теореме 3.1

,

поэтому для любого существуют такие, что ряд сходится и

. (3.1)

Выберем так, чтобы и положим

.

Так как

.

то

и

.

Отсюда, из свойства 3) и монотонности меры (3.1)

Теорема доказана.

 

2. Мера Бореля

 

Семейство полуинтервалов в образует полукольцо , на котором определена мера (длина), так что . Мера -конечна, следовательно, по теореме 3.1 существует единственное продолжение до меры на . Эта мера на -алгебре борелевских множеств называется мерой Бореля.

3. Пополнение меры

 

Определение. Мера , определенная на -алгебре , называется полной, если условия , и влекут .

Отметим, что по свойству монотонности меры .

Мера Бореля, к сожалению, не является полной. Это можно доказать следующим образом. Алгебра имеет мощность континуума. Канторово множество, которое будет построено позже, замкнуто, имеет меру Бореля нуль и мощность континуума. Множество его подмножеств имеет мощность гиперконтинуума и, значит, среди них есть не борелевское множество. Однако, не полную меру можно пополнить.

Теорема 3.3. Пусть — мера на -алгебре . Семейство множеств вида (где , — подмножество какого-либо множества с ) образует -алгебру , содержащую , и существует единственная полная мера на , являющаяся продолжением . При этом .

Доказательство. Так как всякое может быть записано в виде , , то . Проверим, что является -алгеброй. Пусть (, с ), . Имеем

.

Так как , а множество, стоящее во второй скобке, содержится в и , то . Пусть , где , с (). Тогда

.

Ввиду свойства 3) меры, . Следовательно, . Установлено, что — -алгебра.

Покажем независимость от представления множества. Пусть имеет два представления

.

Используя монотонность и свойство 3) меры, получаем

.

Аналогично , что доказывает равенство

.

Взяв попарно непересекающиеся множества из , с (), имеем и . Тогда

Это доказывает счетную аддитивность . Так как для , , то — мера на , являющаяся продолжением .

Рассмотрим другую меру на , являющуюся продолжением . Для произвольного ( с ) из неравенств

.

следует, что . Это доказывает единственность продолжения на .

Если (, с ) и , то и , где , а с (так как ). Это означает, что и, следовательно, – полная мера. Теорема доказана.

Мера , определенная на , существование и единственность которой установлено в теореме 3.3, называется пополнением .

 

4. Мера Лебега

 

По теореме 3.3 меру Бореля можно продолжить до полной меры на . Условимся меру на обозначать через и называть мерой Лебега на , а семейство обозначать через и называть множества из измеримыми по Лебегу множествами в или -измеримыми.

Итак, — полная мера и всякое борелевское множество измеримо по Лебегу, а всякое измеримое по Лебегу множество имеет вид , где — борелевское, , , .

Задачи. Вычислить меру Лебега следующих множеств:

1) ;

2) ;

3) — открытое в ;

4) — канторово множество.

Решения.

1) Так как , то по свойству непрерывности меры Лебега сверху

.

2) Так как , , то

.

3) Всякое открытое множество на прямой является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов , называемых составляющими. Тогда

.

4) Канторово множество является замкнутым множество, потому — борелевское и, значит, измеримо по Лебегу. Множество является открытым. Рассмотрим его составляющие интервалы, получающиеся при построении путем удаления среднего интервала. Именно на первом этапе удаляется из отрезка интервал , (называемый интервалом первого ранга). На втором этапе каждый из оставшихся двух отрезков и делится на три равных отрезка и удаляется (в каждом из этих двух отрезков) средний интервал. Интервалы, удаляемые на втором этапе (их два, а длина каждого ), называем интервалами второго ранга и их объединение обозначаем через . Каждый из интервалов -го ранга (т.е. удаляемые на -ом этапе) имеет длину их число , а их объединение обозначаем через . Тогда , — попарно непересекающиеся множества и, следовательно,

.

Значит,

.

Канторово множество имеет мощность континуума и меру нуль. В троичном разложении точек канторова множества будут участвовать только цифры 0 и 2.

ЛЕКЦИЯ 7