Мощность множества. Мощность основных классов функций

Иванов В.И.

профессор, д.ф.-м.н.

 

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

 

 

Действительный анализ

 

Направление подготовки: 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

Профиль подготовки: «Математическое и компьютерное моделирование»

 

 

Форма обучения: очная

 

 

Тула 2018 г.

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № 8 от 22 мая 2018 г.

 

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

 

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1. Операции над множествами. 4

ЛЕКЦИЯ 2. Мощность множества. Мощность основных классов функций. 6

ЛЕКЦИЯ 3. Множества в евклидовых пространствах. Множества типа и 8

ЛЕКЦИЯ 4. Системы множеств. Полукольцо, кольцо, алгебра, -алгебра. Борелевские множества. 11

ЛЕКЦИЯ 5. Функции множества на полукольце. Меры. Свойства меры. 14

ЛЕКЦИЯ 6. Продолжение меры. Мера Бореля. Пополнение меры. Мера Лебега. 18

ЛЕКЦИЯ 7. Свойства меры Лебега. Приближение измеримых по Лебегу множеств открытыми и замкнутыми множествами. Единственность меры Лебега на прямой. 22

ЛЕКЦИЯ 8. Определение измеримых функций. Операции над измеримыми функциями. Последовательности измеримых функций. Приближение измеримых функций простыми. 25

ЛЕКЦИЯ 9. Пространство с мерой. Теорема Д.Ф. Егорова. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина. 29

ЛЕКЦИЯ 10. Интеграл Лебега для простых функций. Интеграл Лебега для произвольных функций. Интегрируемость измеримых ограниченных функций. 34

ЛЕКЦИЯ 11. Традиционные свойства интеграла Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Неравенство Чебышева. 38

ЛЕКЦИЯ 12. Предельные теоремы для интеграла Лебега. Теорема Беппо-Леви о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема Лебега об ограниченной сходимости. 42

ЛЕКЦИЯ 13. Сравнение интегралов Римана и Лебега 45

ЛЕКЦИЯ 14. Функции ограниченной вариации. Их свойства. 48

ЛЕКЦИЯ 15. Интеграл Римана-Стилтьеса. 50

ЛЕКЦИЯ 16. Теорема Лебега о производной монотонной функции. Ее интегрируемость по Лебегу. 52

ЛЕКЦИЯ 17. Абсолютно непрерывные функции и неопределенный интеграл Лебега 54

 

 

ЛЕКЦИЯ 1

Операции над множествами

1. Основные операции над множествами

 

Множество задается указанием элементов, из которых оно состоит. Пишут , . Пустое множество обозначается . Оно является подмножеством любого множества.

Отметим следующие операции над множествами:

1) - вложение множеств ( есть подмножество ). Оно означает, что если , то . Если , , то . Верно и обратное утверждение.

2) - объединение двух множеств, которое состоит из всех элементов, входящих по крайней мере в одно из множеств или . Аналогично определяется объединение любого числа множеств: .

3) - персечение двух множеств, которое состоит из всех элементов, входящих и в , и в . Аналогично определяется пересечение любого числа множеств: . Два множества, имеющие пустое пересечение называются не пересекающимися или дизъюнктными.

4) - разность двух множеств, которое состоит из всех элементов , не входящих в .

5) - симметрическая разность двух множеств.

6) - декартово произведение двух множеств. Аналогично можно определить декартово произведение конечного или счетного числа множеств. Их элементами будут векторы или последовательности.

Справедливы два важных равенства, называемых формулами де Моргана. Пусть - произвольные пдмножества . Тогда

, .

 

2. Последовательности множеств. Верхний и нижний пределы

 

Пусть - последовательность множеств.

Последовательность множеств называется возрастающей, если

Последовательность множеств называется убывающей, если

Отметим следующие простые утверждения:

1. Если последовательность множеств убывает и , то

.

2. Если множества попарно дизъюнктны и , то последовательность убывает и .

3. Если , то , причем множества попарно дизъюнктны.

Верхним пределом последовательности множеств называется множество

.

Нетрудно убедиться, что верхний предел последовательности множеств – это множество всех элементов, которые принадлежат бесконечно многим

Нижним пределом последовательности множеств называется множество

.

Нижний предел последовательности множеств – это множество всех элементов, которые принадлежат всем начиная с некоторого номера, причем этот номер может зависеть от элемента.

Если

то последовательность множеств называется сходящейся, или имеющей предел

Пример. Пусть последовательность множеств имеет вид

Найти для нее верхний и нижний пределы.

Решение. Так как для любого , то

Так как для любого , то

Когда последовательность является сходящейся. Как и в случае числовых последовательностей можно указать два достаточных условия:

1. Если последовательность множеств возрастает, то

2. Если последовательность множеств убывает, то

 

ЛЕКЦИЯ 2

ЛЕКЦИЯ 3

Множества в евклидовых пространствах. Множества типа и

 

1. -мерное евклидово пространство

 

Пусть - -мерное арифметическое пространство.

С помощью покоординатного сложения и покоординатного умножения на число можно определить в операции сложения векторов и умножения на действительные числа. С этими двумя операциями становится линейным пространством. В нем можно ввести скалярное произведение

Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения:

1.

2.

3.

4.

Скалярное произведение позволяет определить длину вектора

Оно удовлетворяет всем свойствам нормы:

1.

2.

3.

Скалярное произведение позволяет определить расстояние между векторами

Оно удовлетворяет всем свойствам метрики:

1.

2.

3.

Скалярное произведение позволяет определить угол между векторами

и, в частности, ортогональность двух векторов:

Корректность определения угла между векторами и доказательство неравенства треугольника для нормы и метрики вытекают из неравнства Коши - Буняковского:

 

 

2. Предельные точки

 

Открытым шаром с центром в точке и радиусом называется совокупность точек , для которых . Всякий окрытый шар с центром в называют окрестностью этой точки. Окрестность радиуса называют -окрестностью.

Последовательность называется сходящейся к (), если для любого и некоторого для всех

Точка называется предельной для множества , если в любой окрестности есть по крайней одна точка , отличная от .

Теорема 3. Точка является предельной для множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек , отличных от , сходящася к .

Множество, лежащее в некотором шаре, называется ограниченным.

Теорема 4 (Больцано – Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

 

3. Замкнутые и открытые множества

 

Множество, каждая точка которого лежит в нем с некоторой окрестностью называется открытым. Множество, содержащее все предельные точки, называется замкнутым. Операция присоединения к множеству его предельных точек называется замыканием. Замыкание множества является замкнутым (наименьшим замкнутым, содержащим множество) множеством.

Отметим свойства открытых и замкнутых множеств:

1a. Все и пустое множество являются открытыми множествами.

2a. Объединение любого числа окрытых множеств открыто.

3a. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

1b. Все и пустое множество являются открытыми множествами.

2b. Пересечени любого числа замкнутых множеств замкнуто.

3b. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Двойственные свойства открытых и замкнтых множеств вытекают из следующего соотношения между ними.

Лемма 1. Множество -открытое тогда и только тогда, когда его дополнение множество - замкнутое. В

Лемма 2. Пусть -открытое множество, не совпадающее с и . Тогда среди всех шаров с центром в , содержащися в , есть шар наибольшего радиуса.

Доказательство. Пусть - множество радиусов шаров с центром в и лежащих в . Так как , то ограничено. Пусть - точная верхняя грань . Тогда - искомый шар.

 

4. Стуктура открытых множеств

 

Известна структура открытого множества на прямой.

Теорема 5. Любое открытое множество на прямой является объединением не более чем счетного числа непересекающихся открытых интервалов.

При ввиду отсутствия отношения порядка в для описания открытых множеств теорема 5 полного аналога не имеет. Тем не менее справедливо утверждение.

Теорема 6. Любое открытоемножество в является объединением не более чем счетного числа открытых шаров.

Доказательство. Для Пусть , -множество точек с рациональными координатами, . Для по лемме 2 существует открытый шар наибольшего радиуса с центром в и лежащий в . Покажем, что . Для этого достаточно доказать включение .

Пусть Тогда для некоторого . Подберем такую рациональную точку , что Тогда , , Далее, . Действительно, если , то

То есть . Из включения следует, что шар имеет радиус, не меньший чем . Поэтому Теорема доказана.

 

5. Множества типа и

 

Множество, являющееся объединением счетного числа замкнутых множеств, называется множеством типа . Множество, являющееся пересечением счетного числа открытых множеств, называется множеством типа . Множества этих типов естественно появляются в теории функций. Например, в математическом анализе доказывается, что множество точек разрыва ограниченной функции на отрезке имеет тип .

Задача 1. Доказать, что множество рациональных чисел на отрезке имеет тип и не имеет тип . Отсюда будет вытекать, что множество иррациональных чисел имеет тип и не имеет тип .

Функцией, непрерывной на множестве иррациональных чисел и разрывной на множестве рациональных чисел является известная функция Римана.

Задача 2. Доказать, что множество иррациональных чисел на отрезке имеет тип и не имеет тип .

Отсюда будет вытекать, что не существует ограниченной функции на отрезке, для которой множеством точек разрыва является множество иррациональных чисел.

 

ЛЕКЦИЯ 4

Системы множеств. Полукольцо, кольцо, алгебра, -алгебра.

Борелевские множества

1. История возникновения интеграла Лебега

 

Интеграл, известный как интеграл Лебега, был введен французским математиком Анри Лебегом, в 1902 г. для функций, определенных на отрезке прямой. Насколько сильна была потребность в интеграле, расширяющем известные к тому времени интегралы, и в то же время насколько удачным оказалось определение Лебега показывает то, что уже в десятилетие, последовавшее за этим, новый интеграл завоевал всеобщее признание, а для многих математиков разных стран — стал объектом интенсивного исследования. Они подвергли его всестороннему исследованию: изучались свойства интеграла, предлагались эквивалентные определения, устанавливались многообразные приложения. Из этих математиков назовем лишь нескольких: У.Г. Юнг, Ф. Рисс, Б.Леви, Дж. Витали, Д.Ф.Егоров, Н.Н.Лузин, М.Фреше, П.Фату и, конечно, А.Лебег.

В 1910 г. Лебегом же было предложено определение интеграла от функции, заданной в -мерном евклидовом пространстве, а в 1915 году М. Фреше распространил интегрирование на функции, заданные на произвольном множестве с мерой. Это последнее определение интеграла (на произвольном множестве с мерой) в математической литературе называют интегралом Лебега, или абстрактным интегралом Лебега.

В результате было введено и распространилось понятие интеграла, ставшее вскоре главным орудием исследования самых разнообразных вопросов математики и математического естествознания. Современная теория дифференциальных уравнений, математическая и теоретическая физика, теория линейных операторов, теория вероятностей и статистика, а также другие разделы математики используют в качестве теоретической основы и важнейшего инструмента теорию меры и интеграла Лебега. Эти понятия — мера и интеграл Лебега — составляют фундамент метрической теории функций действительного переменного.

Изучению интеграла Лебега будет предшествовать изучение теории меры и теории измеримых функций.

 

2. Системы множеств. Полукольцо, кольцо, алгебра, -алгебра

 

Пусть — произвольное непустое множество.

Определение. Непустое семейство подмножеств множества называют полукольцом, если

1) для любых ,

2) для любых , найдется такое конечное семейство множеств из , что

.

Пусть

Нетрудно убедиться, что и являются полукольцами.

Определение. Непустая система подмножеств какого-либо множества называется кольцом, если выполнены следующие требования:

1) ,

2) .

Система подмножеств множества называется алгеброй, если — кольцо, для которого выполнено условие

3) .

Алгебра называется -алгеброй, если

4) .

Отметим следующие простые свойства кольца и алгебры:

а) Если — кольцо множеств, то

Действительно,

.

б) Всякое кольцо является полукольцом.

Действительно, условие 1 следует из свойства а). Если , , то .

в) Всякое полукольцо содержит пустое множество.

Действительно, если , то , только в случае .

г) Если — -алгебра и , то .

Действительно, если , то и . Отсюда .

 

3. Кольца и алгебры, порожденные системами множеств

 

Определение. Если — какое-либо семейство подмножеств , то наименьшее (по включению ) кольцо ( -алгебра) подмножеств , содержащее , называется кольцом ( -алгеброй), порожденным семейством . Обозначение: ().

Теорема 1.1. Для любой непустой системы подмножеств существуют и .

Доказательство. Приведем для . Пусть — семейство всех колец подмножеств , содержащих . Оно непусто, ибо содержит — множество всех подмножеств . Тогда — искомое кольцо, порожденное . Теорема доказана.

Теорема 1.2. Пусть — полукольцо множеств. Тогда есть совокупность всех множеств вида , где — попарно непересекающиеся множества из .

Доказательство. Пусть — семейство всех конечных объединений попарно непересекающихся множеств из . Тогда , и достаточно показать, что — кольцо. Пусть , где , . Проверку, что — кольцо осуществим в несколько этапов.

1) Если . Но

2) Если — непересекающиеся, то . Это очевидно, ибо .

3) Если , то . Действительно, в этом случае и . Тогда

,

где из и, следовательно, .

4) Покажем, что . Действительно,

.

Теперь достаточно воспользоваться этапами 1-3.

5) Наконец, , так как

.

Теорема доказана.

 

4. Борелевские множества

 

Определение. Если — система открытых множеств на прямой , то -алгебру обозначают и множества из называют борелевскими множествами на прямой.

Примерами борелевских множеств являются замкнутые множества, множества и .

Теорема 1.3. Справедливо равенство

.

Доказательство. Пустое множество является борелевским в . Борелевским будет и всякий полуинтервал . Тогда . Значит, .

Установим обратное включение. Рассмотрим произвольный интервал и пусть такое, что . Тогда

Известно, что всякое открытое множества в имеет вид

,

поэтому . Так как — наименьшая (по включению) -алгебра, содержащая все открытые в множества, то .

Теорема доказана.

 

 

ЛЕКЦИЯ 5

ЛЕКЦИЯ 6

ЛЕКЦИЯ 7

ЛЕКЦИЯ 8

ЛЕКЦИЯ 9

Пространство с мерой. Теорема Д.Ф. Егорова. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина.

1. Пространство с мерой

 

Определение. Тройка называется пространством с мерой, если — измеримое пространство, — мера на .

Будем предполагать, что — полная -конечная мера.

Говорят, что некоторое свойство выполняется -почти всюду ( -п.в. или просто п.в.), если оно выполняется на множестве , где .

Определение. Функции называются -эквивалентными (), если -п.в.

Отметим, что эквивалентные функции измеримы одновременно. Если измерима и для , , то

-измеримо.

 

2. Теорема Д.Ф. Егорова

 

Теорема 6.1. Пусть — пространство с конечной полной мерой и — последовательность измеримых функций сходящаяся -почти всюду к функции . Тогда функция измерима и для всякого существует такое измеримое множество , что и на сходится равномерно к .

Доказательство. Пусть таково, что и , . Функция измерима на и на , следовательно, измерима. Пусть для

. (6.1)

Каждое из множеств измеримо при любом

и, ввиду сходимости к на , ,

.

Для всякого найдется такое, что

.

Положим . Имеем

,

и

.

Докажем равномерную сходимость на . Взяв произвольное , найдем так, что . Так как , то из (6.1) следует, что для и

.

Это доказывает равномерную сходимость на последовательности функций к .

 

3. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса

 

Определение. Последовательность сходится к по -мере (), если любого

.

Теорема 6.2. Если и , то .

Доказательство. Положим для

.

Для всех

,

следовательно,

.

Переходя к пределу при , получим , . Но

,

так как .