Приближение измеримых функций простыми

1. Определение измеримых функций

 

Пусть — произвольное множество, — -алгебра его подмножеств. Пару называют измеримым пространством, а множества из — измеримыми.

Определение. Функция называется -измеримой (или просто измеримой), если для любого

.

Если и , то измеримую функцию называют измеримой по Лебегу, а если и , то измеримую функцию называют измеримой по Борелю или борелевской функцией.

Определение. Пусть , — -алгебра подмножеств множества . Функция называется измеримой на , если для любого

.

Отметим, что .

Непрерывная функция является борелевской, так как прообраз открытого множества открыт. Всякая борелевская функция измерима и по Лебегу.

Теорема 5.1. -измерима .

Доказательство. Так как множество , то достаточность очевидна.

Пусть теперь — измеримая функция. Обозначим через семейство всех таких подмножеств в , для которых . По условию для любого . Если , то и

.

Следовательно, . Если , то и

,

значит, . Следовательно есть -алгебра (), содержащая множества . Так как наименьшая -алгебра, содержащая множества , то . Теорема доказана.

 

2. Операции над измеримыми функциями

 

Так как для

,

а для

,

то из измеримости функции следует измеримость функции .

Так как для

,

то из измеримости функции следует измеримость функции .

Теорема 5.2. Если функции измеримы, то функция также измерима.

Доказательство. Пусть . Из плотности в

.

Каждое из множеств , измеримо, следовательно, измеримо и их пересечение. Остается заметить, что множество пар счетно. Теорема доказана.

Заметим, что измеримой будет и функция .

Следствие. Если функции и измеримы, то измеримы будут и функции

.

Доказательство. Измеримость следует из равенства

.

Далее

 

3. Последовательности измеримых функций

 

Теорема 5.3. Если () — последовательность -измеримых функций, то функции , , -измеримы.

Доказательство. Имеем

Пусть для . Покажем, что

. (5.1)

Отсюда будет следовать измеримость .

Если , то существует такое , что . Для этого можно найти такое, что для будет выполнимо неравенство . Значит, войдет в правую часть (5.1).

Обратно, если принадлежит правой части (5.1), то существуют и такие, что для всех . Значит, . Теорема доказана.

 

4. Приближение измеримых функций простыми

Определение. Функция , определенная на измеримом пространстве , называется простой, если для

.

Простая функция измерима; сумма и произведение простых функций также является простой функцией.

Теорема 5.4. Пусть функция измерима. Тогда существует неубывающая последовательность неотрицательных простых функций, для которой

.

Доказательство. Для и положим

Если , то , а функция в этой же точке принимает одно из двух значений

.

Значит, . Если , то , a принимает одно из двух значений , . В этом случае также .

Если , то существует такое, что и для любого

.

Это доказывает, что .

Следствие 5.1. Пусть функция измерима. Тогда существует последовательность простых функций сходящаяся к на , для которой .

Доказательство. Пусть

.

Тогда , — измеримые неотрицательные функции и . Согласно теореме 5.4, существуют две неубывающие последовательности неотрицательных простых функций и , сходящихся к и соответственно. При этом

.

Последовательность простых функций сходится к и

.

Следствие 5.2. Если функция измерима и ограничена, то существует последовательность простых функций, равномерно сходящихся к .

Доказательство. Пусть такое, что . Для каждых и положим

.

Тогда, очевидно, что для ,

.

ЛЕКЦИЯ 9

Пространство с мерой. Теорема Д.Ф. Егорова. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина.

1. Пространство с мерой

 

Определение. Тройка называется пространством с мерой, если — измеримое пространство, — мера на .

Будем предполагать, что — полная -конечная мера.

Говорят, что некоторое свойство выполняется -почти всюду ( -п.в. или просто п.в.), если оно выполняется на множестве , где .

Определение. Функции называются -эквивалентными (), если -п.в.

Отметим, что эквивалентные функции измеримы одновременно. Если измерима и для , , то

-измеримо.

 

2. Теорема Д.Ф. Егорова

 

Теорема 6.1. Пусть — пространство с конечной полной мерой и — последовательность измеримых функций сходящаяся -почти всюду к функции . Тогда функция измерима и для всякого существует такое измеримое множество , что и на сходится равномерно к .

Доказательство. Пусть таково, что и , . Функция измерима на и на , следовательно, измерима. Пусть для

. (6.1)

Каждое из множеств измеримо при любом

и, ввиду сходимости к на , ,

.

Для всякого найдется такое, что

.

Положим . Имеем

,

и

.

Докажем равномерную сходимость на . Взяв произвольное , найдем так, что . Так как , то из (6.1) следует, что для и

.

Это доказывает равномерную сходимость на последовательности функций к .

 

3. Сходимость почти всюду и по мере. Теорема Рисса

 

Определение. Последовательность сходится к по -мере (), если любого

.

Теорема 6.2. Если и , то .

Доказательство. Положим для

.

Для всех

,

следовательно,

.

Переходя к пределу при , получим , . Но

,

так как .

Теорема 6.3. Если -п.в., , то .

Доказательство. Пусть , . По теореме 6.1 существует множество , , на котором сходится к равномерно. Отсюда такое, что для всех

,

поэтому

Теорема доказана.

Обратное утверждение неверно. Для примера возьмем меру Лебега на . Построим последовательность функций следующим образом: , , и для () . Последовательность сходится по мере к функции , так как для

.

Вместе с тем, какую бы точку не взять, найдется бесконечное множество номеров , для которых при любом . Это означает, что не сходится к ни для одного . Тем не менее, справедлива следующая теорема.

Теорема 6.4. Если , то существует подпоследовательность -п.в.

Доказательство. Вследствие , можно выбрать последовательность из

и последовательность измеримых множеств таких, что

.

Положим , . Так как — убывающая последовательность множеств и

,

то, вследствие непрерывности меры,

.

Если , , то . Значит, найдется такое, что . Тогда для всех . Выберем и . Для всех

.

Это доказывает, что , , т.е. -п.в.

 

4. -свойство измеримой функции Н.Н. Лузина

 

Теорема 6.5. Пусть — -измеримое множество в и функция -измерима. Тогда для всякого найдется такое замкнутое множество , что и сужение на непрерывно (как функция на ).

Доказательство. Напомним, что для функция непрерывна на , если для любого открытого в множества существует такое открытое в множество , что .

Пусть , — семейство интервалов в с рациональными концами (это семейство счетно). Вследствие -измеримости множества по теореме 4.1 найдется такое открытое и в множество , что

.

Положим

.

Сужение на обозначим через . Имеем

Покажем, что

. (6.2)

Очевидно, включение

. (6.3)

Установим обратное включение. Имеем

поэтому

,

что вместе с (6.3) дает (6.2).

Если — произвольное открытое множество в , то

.

Тогда учитывая (6.2), получим

Так как множество открыто, то непрерывна на .

По следствию 4.2 существует такое замкнутое в множество , что . На функция непрерывна и

.

Следствие 6.1. Пусть функция -измерима на множестве . Тогда для всякого существует непрерывная на функция , такая что

.

Если при этом , , то , .

Доказательство. Пусть . По теореме 6.5 существует такое замкнутое множество , что и сужение на непрерывно. Обозначим это сужение . Доопределим на всю прямую линейно на конечных составляющих интервалах открытого множества и значениями на и на . Тогда непрерывна на и , следовательно,

.

Если , , то по построению , .

 

ЛЕКЦИЯ 10