Интеграл Лебега для простых функций. Интеграл Лебега для произвольных функций. Интегрируемость измеримых ограниченных функций

 

1. Интеграл Лебега для простых функций

 

Пусть — пространство с полной -конечной мерой. Простую функцию

(7.1)

назовем -простой, если , .

Определение. Интегралом Лебега -простой функции (7.1) на называется число

.

Для интеграл от по множеству есть величина

.

Корректность определения интеграла (независимость от выбора представления ) следует из следующей леммы.

Лемма 7.1. Если — -простая функция, то

.

Доказательство. Вследствие аддитивности , утверждение очевидно, если каждое из семейств , состоит из попарно непересекающихся множеств. Если , то на . Отсюда, вследствие аддитивности меры ,

.

Поэтому достаточно установить, что от записи в виде можно перейти к , где — конечное семейство попарно непересекающихся множеств из , и при этом

.

Индукция по . Для высказывание верно. Пусть оно верно для . Докажем его для . По индуктивному предположению

Функция представлена как линейная комбинация характеристических функций попарно непересекающихся множеств и

Лемма доказана.

Из определения интеграла легко вытекает следующая лемма, устанавливающая его свойства.

Лемма 7.2. Пусть , — -простые функции, . Тогда

1) ,

2) ,

3) если , , то

,

4) для любых попарно непересекающихся множеств

,

5) .

 

2. Интеграл Лебега для произвольных функций

 

В дальнейшем будем рассматривать -измеримые функции определенные на -п.в. и -п.в. конечные.

Определение. Функция , -п.в. конечная на , называется интегрируемой ( -интегрируемой), если существует такая последовательность -простых функций , что

1) для -п.в. , (7.2)

2) . (7.3)

В случае выполнения этих условий

. (7.4)

Интеграл (7.4) называют абстрактным интегралом Лебега (по мере ) и просто интегралом Лебега в случае пространства .

Проверим корректность определения интеграла (7.4).

Лемма 7.3. В (7.4) предел существует.

Доказательство. Существование предела следует из фундаментальности последовательности :

.

Лемма 7.4. Если последовательность -простых функций сходится -п.в. к нулю и выполнено условие (7.3), то

.

Доказательство. Пусть . Существует такой номер , что для всех , . Выберем , , . Очевидно, что для . Если , то по теореме 6.1, найдется такое , что и на равномерно сходится к нулю. Возьмем такое , что при , . Пусть ;

. (7.5)

Для первый интеграл в правой части (7.5) меньше . Для другого интеграла при достаточно малом

Итак, для . Лемма доказана.

Лемма 7.5. Интеграл (7.4) не зависит от выбора последовательности .

Доказательство. Пусть и — две последовательности -простых функций, для которых выполнены условия (7.2), (7.3) и множество , выбрано так, что

.

Для , поэтому -п.в. сходится к нулю и

.

Следовательно, по лемме 7.4

.

Лемма доказана.

Интеграл по множеству определяем соотношением

.

 

3. Интегрируемость измеримых ограниченных функций

 

Теорема 7.1. Пусть — пространство с полной конечной мерой. Если — измеримая ограниченная на функция, то интегрируема.

Доказательство. В случае ограниченной измеримой функции на , по следствию 5.2 существует последовательность -простых функций , равномерно сходящаяся к на . Утверждение теоремы вытекает из очевидной оценки

.

Следствие 7.1. Пусть — измеримое множество конечной меры на пространстве с полной мерой . Если функция измерима и ограничена на , то f интегрируема на .

Утверждение следует из теоремы 7.1, если перейти к пространству с мерой .

Теорема 7.2. Если функция интегрируема на , , то интегрируема на . Если последовательность -простых функций удовлетворяет условиям (7.2) и (7.3), то для любого найдется такое, что для всех и всех

.

Доказательство. Пусть . Для доказательства интегрируемости на достаточно рассмотреть последовательность -простых функций на где — последовательность удовлетворяющая (7.2) и (7.3).

Пусть , . Найдется такое, что для . Из интегрируемости на существует такое, что

.

Тогда для

.

Теорема доказана.

 

ЛЕКЦИЯ 11