Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Предельные теоремы для интеграла Лебега. Теорема беппо-леви о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема Лебега об ограниченной сходимости
1. Теорема Беппо-Леви о монотонной сходимости
В данной лекции установим, что в интеграле Лебега возможны предельные переходы в очень общих ситуациях, при которых они не справедливы в интеграле Римана. Следующее утверждение называют теоремой о монотонной сходимости. Теорема 9.1 (Беппо–Леви). Пусть — последовательность -измеримых функций таких, что . Тогда . (9.1) Доказательство. По теореме 5.3. функция неотрицательна и измерима. Считаем, что для неотрицательной — это обычный интеграл Лебега или . Если какая-либо из неинтегрируема, то равенство (9.1) выполнено. Если все интегрируемы, но последовательность не ограничена, по свойству 4 интеграла Лебега . Остается рассмотреть случай, когда последовательность ограничена. Пусть , . Для каждого по теореме 5.4 построим неубывающую последовательность неотрицательных простых функций такую, что . Ввиду интегрируемости , каждая из построенных простых функций является -простой. Введем функции является последовательностью -простых функций, для которых и Из свойств интеграла заключаем: . Следовательно, существует конечный . В таком случае (). Это устанавливает интегрируемость и равенство . (9.2) Очевидно, , поэтому из неравенств и (9.2) следует (9.1). Теорема доказана. Следствие 9.1. Если функции неотрицательны и интегрируемы, а ряд сходится, то ряд -п.в. сходится и . Доказательство немедленно следует из теоремы 9.1, примененной к неубывающей последовательности неотрицательных интегрируемых функций . 2. Лемма Фату
Следующее утверждение обычно называют леммой Фату. Теорема 9.2 (П.Фату). Если — последовательность неотрицательных измеримых функций, то . (9.3) Доказательство. Пусть . Каждая из функций измерима. Очевидно, что (9.4) Из (9.4), свойству 4 интеграла Лебега следовательно, . (9.5) В то же время, по теореме 9.1 . Отсюда, переходя к пределу в (9.5) при , устанавливаем (9.3). Теорема доказана. Следствие 9.2. Пусть последовательность неотрицательных измеримых функций -п.в. сходится к и . Тогда — -интегрируема и . Доказательство. Так как , то из теоремы 9.2 следует интегрируемость и соотношение .
3. Теорема Лебега об ограниченной сходимости
Теорема 9.3. Пусть , — последовательность измеримых функций, сходящаяся к -п.в., -п.в., то интегрируема и выполнены равенства
, (9.6) . (9.7) Доказательство. Так как -п.в., то интегрируемость следует из свойства 4 интеграла Лебега. Вследствие выполнимости -п.в. неравенств , лемму Фату можно применить к , что дает . (9.8) Но . Отсюда и из (9.8) и . Это и доказывает (9.6). Так как (9.9) и , то, переходя к пределу в (9.9), при получим (9.7). Теорема доказана. Пример. Условие в теореме 9.3 опустить нельзя. Пусть , — мера Лебега, . Тогда всюду . Однако , в то время как . ЛЕКЦИЯ 13
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-01; просмотров: 519; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.212.102.174 (0.078 с.) |