ТОП 10:

Предельные теоремы для интеграла Лебега. Теорема Беппо-Леви о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема Лебега об ограниченной сходимости



 

1. Теорема Беппо-Леви о монотонной сходимости

 

В данной лекции установим, что в интеграле Лебега возможны предельные переходы в очень общих ситуациях, при которых они не справедливы в интеграле Римана.

Следующее утверждение называют теоремой о монотонной сходимости.

Теорема 9.1 (Беппо–Леви). Пусть — последовательность -измеримых функций таких, что

.

Тогда

. (9.1)

Доказательство. По теореме 5.3. функция неотрицательна и измерима. Считаем, что для неотрицательной — это обычный интеграл Лебега или . Если какая-либо из неинтегрируема, то равенство (9.1) выполнено. Если все интегрируемы, но последовательность не ограничена, по свойству 4 интеграла Лебега . Остается рассмотреть случай, когда последовательность ограничена.

Пусть , . Для каждого по теореме 5.4 построим неубывающую последовательность неотрицательных простых функций такую, что

.

Ввиду интегрируемости , каждая из построенных простых функций является -простой. Введем функции

является последовательностью -простых функций, для которых

и

Из свойств интеграла заключаем:

.

Следовательно, существует конечный .

В таком случае ( ). Это устанавливает интегрируемость и равенство

. (9.2)

Очевидно, , поэтому из неравенств и (9.2) следует (9.1). Теорема доказана.

Следствие 9.1. Если функции неотрицательны и интегрируемы, а ряд сходится, то ряд -п.в. сходится и

.

Доказательство немедленно следует из теоремы 9.1, примененной к неубывающей последовательности неотрицательных интегрируемых функций .

2. Лемма Фату

 

Следующее утверждение обычно называют леммой Фату.

Теорема 9.2 (П.Фату). Если — последовательность неотрицательных измеримых функций, то

. (9.3)

Доказательство. Пусть . Каждая из функций измерима. Очевидно, что

(9.4)

Из (9.4), свойству 4 интеграла Лебега

следовательно,

. (9.5)

В то же время, по теореме 9.1

.

Отсюда, переходя к пределу в (9.5) при , устанавливаем (9.3). Теорема доказана.

Следствие 9.2. Пусть последовательность неотрицательных измеримых функций -п.в. сходится к и . Тогда -интегрируема и .

Доказательство. Так как

,

то из теоремы 9.2 следует интегрируемость и соотношение

.

 

3. Теорема Лебега об ограниченной сходимости

 

Теорема 9.3. Пусть , — последовательность измеримых функций, сходящаяся к -п.в., -п.в., то интегрируема и выполнены равенства

, (9.6)

. (9.7)

Доказательство. Так как -п.в., то интегрируемость следует из свойства 4 интеграла Лебега. Вследствие выполнимости -п.в. неравенств , лемму Фату можно применить к , что дает

. (9.8)

Но

.

Отсюда и из (9.8)

и

.

Это и доказывает (9.6). Так как

(9.9)

и

,

то, переходя к пределу в (9.9), при получим (9.7). Теорема доказана.

Пример. Условие в теореме 9.3 опустить нельзя. Пусть , — мера Лебега, . Тогда всюду

.

Однако

,

в то время как

.

ЛЕКЦИЯ 13







Последнее изменение этой страницы: 2019-05-01; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.200.21 (0.012 с.)