Наближений розв’язок системи

ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи: Освоїти методику і набути практичні навички розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) методом повного виключення невідомих (методом Жордана – Гаусса).

Завдання:

1. Методом Жордана-Гаусса знайти всі загальні і базисні розв’язки системи із чотирьох рівнянь з чотирма невідомими.

2. Розв’язати систему трьох рівнянь з трьома невідомими методом Жордана-Гаусса і з використанням засобу “Поиск решения…” програми Excel.

Підготовка до заняття:

При підготовці до заняття повторити тему: “Системи лінійних алгебраїчних рівнянь”. Особливу увагу варто звернути на основні визначення: що таке СЛАР; що таке розв’язок СЛАР, що таке спільна СЛАР, спільна визначена, спільна невизначена, неспільна; що таке загальний розв’язок, частковий розв’язок, базисний розв’язок; суть: методу Гаусса і Жордана-Гаусса; формалізації жорданових перетворень.

Теоретичні відомості

Системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими називається система вигляду

Розв’язком СЛАР називається сукупність n чисел яка при

підстановці цих чисел замість невідомих кожне з рівнянь перетворить у тотожність.

СЛАР, що не має розв’язків, називається несумісною, що має хоча б один розв’язок – сумісною. СЛАР, що має один розв’язок – сумісно визначеною, що має безліч розв’язків – сумісно невизначеною.

Основні задачі, що виникають при розв’язку СЛАР:

1) визначити, сумісна чи несумісна СЛАР;

2) якщо СЛАР сумісна, визначити, чи є вона визначеною;

3) якщо СЛАР сумісна і визначена, знайти її єдиний розв’язок;

4) якщо СЛАР сумісна і невизначена, знайти її загальні і базисні розв’язки.

Розглянемо чисельний метод розв’язку СЛАР: метод повного виключення невідомих (метод Жордана–Гаусса). Суть методу полягає у тому, що вибравши r- те рівняння (ведуче), а в ньому невідому x_k (ведучу) з коефіцієнтом ( – ведучий елемент), виключаємо невідому x_k з усіх рівнянь, крім ведучого r -го. Для цього r -е рівняння ділимо на ведучий елемент . Потім отримане рівняння множимо на коефіцієнт при ведучій невідомій в інших рівняннях і віднімаємо з цих рівнянь. Потім вибираємо нове ведуче рівняння і нову ведучу невідому й аналогічно виключаємо цю невідому з усіх рівнянь, крім ведучого. Для полегшення перетворень при виключенні невідомої x_k з усіх рівнянь СЛАР, крім ведучого r -го, зручно користуватися наступними правилами:

1. Всі елементи ведучого рівняння діляться на ведучий елемент .

2. Всі елементи ведучого стовпця, крім ведучого, рівні 0; ведучий елемент дорівнює 1;

3. Всі інші елементи перераховуються за правилом прямокутника:

де – відповідно ведучий і перерахований елементи:

Зауваження 1. Якщо в процесі виключення невідомих з'являється рівняння вигляду СЛАР несумісна.

Зауваження 2. Якщо в процесі виключення невідомих з'являється рівняння вигляду то рівняння видаляється із системи.

Зауваження 3. У якості ведучих невідомих і ведучих рівнянь вибираються невідомі і рівняння, що раніше не були ведучими.

Процес послідовного виключення невідомих закінчується формуванням p ведучих рівнянь:

Система сумісна і тут можливі два випадки:

1. р = n – система сумісна і визначена і має єдиний розв’язок

2. p < n – система сумісна і невизначена. Невідомі х ₁, х ₂,..., х_r,…, x_s,…, x_p називаються базисними, а x_{p +1}, x_{p +2},…, x_n називаються вільними.

Варіанти завдань.

1. Система чотирьох рівнянь з чотирма невідомими.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

2. Система трьох рівнянь з трьома невідомими

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

Приклад виконання завдання

Приклад 1. Знайти всі базисні та загальні розв’язки СЛАР:

Розв’язок. Спочатку знайдемо який-небудь базисний та загальний розв’язок.

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
		–2			–3
	–1	–2
		–2	–1
		–2	–2

Вилучаємо x ₁ з усіх рівнянь, крім першого (вводимо в базис x ₁).

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 1		–2			–3
		–2	–3
		–2	–3
		–2	–3

Вилучаємо х ₂ з усіх рівнянь, крім другого (вводимо в базис х ₂).

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 1 х 2			–4/5	–1/5
		–2/5	–3/5

Вилучаємо рівняння 3 та 4

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 1 х 2			–4/5	–1/5		(1;2;0;0)
		–2/5	–3/5

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок

Кількість базисних розв’язків дорівнює Інші загальні і

базисні розв'язки знаходяться так:

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 1 х 2			–4/5	–1/5		(1;2;0;0)
		–2/5	–3/5

Вводимо в базис х ₃ замість х ₁

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 3 х 2	–5/4			1/4	–5/4	(0;3/2;–5/4;0)
–1/2			–1/2	3/2

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок:

Вводимо в базис х ₁ замість х ₂

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 3 х 1		–5/2		3/2	–5	(–3; 0; –5; 0)
	–2			–3

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок:

Вводимо в базис х ₄ замість х ₃

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 4		–5/3	2/3		–10/3	(1/3;0;0;–10/3)
х 1		–1/3	-2/3		1/3

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок:

Вводимо в базис х ₂ замість х ₁

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 4	–5				–5	(0;–1;0;–5)
х 2	–3				–1

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок:

Вводимо в базис х ₃ замість х ₂

Базисні змінні	х 1	х 2	х 3	х 4	Вільні члени bi	Базисний розв'язок
х 4		–2			–3	(0;0;–1/2;–3)
х 3	–3/2	1/2			–1/2

Загальний розв’язок:

Базисний розв’язок:

 

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок системи рівнянь, використовуючи засіб “Поиск решения... ” програми Excel:

Розв’язок. Для розв’язку системи рівнянь з використанням засобу “Поиск решения...” програми Excel необхідно і достатньо любе із рівнянь системи представити як рівняння функції мети, а інші – як обмеження.

Нижче представлений розв’язок, коли перше рівняння виступає як рівняння функції мети.

Рекомендована література:

1. Демидович Б.П., Марон А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. Стр.268, 272–283.

2. Данилина Н.И. и другие. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976.

Стр. 75–85.

3. Кузнецов Ю.Н. Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. –.: Высшая школа, 1980. Стр. 29–36.

 

 

 

Навчально-методичне видання