Наближені методи розв’язку звичайних

ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи: Освоїти методику і придбати практичні навички розв’язкузвичайних диференціальних рівнянь першого порядку наближеними методами.

Завдання:

1. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння першого порядку методом Эйлера на відрізку [ а, b ] із кроком h = 0,1 () при початковій умові . Всі обчислення виконувати з чотирма десятковими розрядами.

2. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку методом Рунге-Кутта на відрізку [ а, b ] із кроком при початковій умові . Всі обчислення виконувати з чотирма десятковими розрядами.

3. Побудувати графіки функцій y = f (x) на відрізку [ а, b ].

Теоретичні відомості

Найпростішим звичайним диференціальним рівнянням є рівняння 1-го порядку . Загальним розв’язком такого рівняння є безліч функцій , що відрізняються між собою на довільну постійну с. Якщо задана початкова умова то можна виділити частковий розв’язок. Знаходження часткового розв’язку, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші. Іншими словами, задача Коші полягає у відшуканні інтегральної кривої y = y (x), що проходить через задану точку

Для диференціального рівняння n-го порядку задача Коші полягає у відшуканні функції яка задовольняє цьому рівнянню і початковим умовам

де – задані числа.

Для розв’язку поставленої задачі застосовуються наступні методи:

Метод Эйлера для розв’язку диференціального рівняння 1-го порядку з початковою умовою

Вибираємо крок h і складаємо таблицю значень , де , [ a, b ] – відрізок, на якому шукається розв’язок. Значення визначаються за формулою .

 

Метод Рунге-Кутта.

 

На кожному кроці послідовні значення y_i визначають за формулою

 

, (i = 0,1, 2,…, n),

 

Обчислювальна схема методу Рунге-Кутта

 

i	x	y	k = h×f (x, y)
	x 0	y 0
_	_	_	_
…	…	…	…	…

 

 

Варіанти завдань

 

№ п/п	Диференціальне рівняння	х 0 = а	b	y 0 = y (x 0)
	y¢ = (xy ^2 + x)/(x ^2 y - y)
	y¢ = (y ^2 - y)/ x			–1
				–0,5
	y¢ = 2 xy /(x ^2 – y ^2)
	y¢ = 4 x - 2 y			–1
№ п/п	Диференціальне рівняння	х 0 = а	b	y 0 = y (x 0)
	y¢ = cos(x) – y			1,5
	xy¢ = y – x ^2 – y ^2			0,8
	yy ¢ = (1 - 2 x) y
	y ¢=(1 + y ^2)/(1 + x ^2)		0,9
	y¢ = 10 ^x+y			–1
	yy¢ + x = 0
	y¢ = (x ^2 + y ^2) / xy
	xy¢ = y × eu (y / x)
	(1 + x ^2) y¢ = 1 + y ^2		0,9
	yy¢ = (1 - 2 x)/ y
	y¢ = sin(y / x) + y / x
	(3 + y ^2/ x ^2)=2 y / x × y¢
	y ¢ = (y - 2)^3/(x + 1)^3
	y¢ tg(x) = y + 1			–1
	(y + xy) + (x - xy) y ¢ = 0
	yy¢ = 1 - x
	y ^2 + x ^2 y¢ = 0	–1
	2 xy × y¢ = x ^2 + y ^2
	(x - y) × y¢ = y	–1
	y¢ = (x - y)^2 + 1			–1
	y¢ + 2 xy = 2 xy ^2			0,5
	y¢ = – y ^2/ x ^2
	y¢ = – (x - 1)/ y
	(x ^2 y – y) y¢ = xy ^2 + x
	y¢ = (1 + y ^2)/(1 + x ^2)	–1
	y¢ = (x ^2 + y ^2)/2 xy
	xy¢ = y ^2 – y			–1
	y¢ – 1 = (x – y)^2			0,5
	(x ^2- y ^2) y¢ = 2 xy			–1
	y¢ + 2 y = 4 x
				0,75
	y¢ = y ×eu(y / x)/ x	–1	–0,1	–1
	y¢ = 1 – 2 x
	y¢ = 2 xy (y - 1)			0,5
	y¢ = – x / y
	y¢ + y = cos (x)			2,5
	(1 + x ^2) y¢ = 1 + y ^2	–1
№ п/п	Диференціальне рівняння	х 0 = а	b	y 0 = y (x 0)
	(x + 1)^3 y¢ = (y - 2)^2
	y¢ × 2 y / x = (3 + y ^2/ x ^2)
	xy¢ – y = x sin(y / x)
	xyy¢ = x ^2 + y ^2	0,5	2,5
	y¢ = (1 – 2 x)/ y ^2
	y¢ – 10 ^x ^+ y = 0		?	–2

 

Приклад виконання завдання

Приклад 1. Методом Эйлера розв’язати звичайне диференціальне рівняння

y¢ = y + x, y (0,3) = 0,5 на відрізку [ a, b ], прийнявши крок h = 0,05.

 

i	x	y (i)	f (x, y) = x + y	∆ y = 0,05× f (x, y)	y (i +1)
	0,3000	0,5000	0,8000	0,0400	0,5400
	0,3500	0,5400	0,8900	0,0445	0,5845
	0,4000	0,5845	0,9845	0,0492	0,6337
	0,4500	0,6337	1,0837	0,0542	0,6879
	0,5000	0,6879	1,1879	0,0594	0,7473
i	x	y (i)	f (x, y) = x + y	∆ y = 0,05× f (x, y)	y (i +1)
	0,5500	0,7473	1,2973	0,0649	0,8122
	0,6000	0,8122	1,4122	0,0706	0,8828
	0,6500	0,8828	1,5328	0,0766	0,9594
	0,7000	0,9594	1,6594	0,0830	1,0424
	0,7500	1,0424	1,6594	0,0830	1,1254
	0,8000	1,1254

Приклад2. Методом Рунге-Кутта розв’язати звичайне диференціальне рівняння y¢ = y + x, y (0,3) = 0,5 на відрізку [ a, b ], прийнявши крок h = 0,1.

 

 

i	x	y	f (x, y)	k = h × f (x, y)
	0,3000	0,5000	0,8000	0,0800	0,0800
0,3500	0,5400	0,8900	0,0890	0,1780
0,3500	0,5445	0,8945	0,0895	0,1790
0,4000	0,5895	0,9895	0,0990	0,0990
					0,5360/6 = 0,0893
	0,4000	0,5893	0,9893	0,0989	0,0989
0,4500	0,6388	1,0888	0,1089	0,2178
0,4500	0,6438	1,0938	0,1094	0,2188
0,5000	0,6987	1,1987	0,1198	0,1198
					0,6553/6 = 0,1092
i	x	y	f (x, y)	k = h × f (x, y)
	0,5000	0,6985	1,0985	0,1099	0,1099
0,5500	0,7535	1,3035	0,1304	0,2608
0,5500	0,7637	1,3137	0,1314	0,2628
0,6000	0,8299	1,4299	0,1430	0,1430
					0,7765/6 = 0,1294
	0,6000	0,8289	1,4289	0,1429	0,1429
0,6500	0,9004	1,5504	0,1550	0,3100
0,6500	0,9064	1,5564	0,1556	0,3112
0,7000	0,9845	1,6485	0,1685	0,1685
					0,9326/6 = 0,1454
	0,7000	0,9483	1,6843	0,1684	0,1684
0,7500	1,0685	1,8185	0,1819	0,3638
0,7500	1,0753	1,8253	0,1825	0,3650
0,8000	1,1668	1,9668	0,1967	0,1967
					1,0939/6 = 0,1823
	0,8	1,1666

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8