Оцінка похибок наближених обчислень

Мета роботи: Освоїти методику і придбати практичні навички оцінки похибок результатів наближених обчислень.

Завдання: Визначити абсолютну і відносну похибки результатів обчислень, враховуючи, що вихідні величини є наближеними і у їхньому записі всі цифри вірні:

1. Обчислити величину F по формулі:

2. Обчислити площу круга S, якщо його радіус дорівнює R.

3. Обчислити діаметр кола D, якщо відома його площа S.

4. Обчислити площу трикутника ABC за заданими значеннями b, c, h.

B

 

 

h

A b c C

5. Обчислення робити покроково і за загальною формулою для похибок.

Підготовка до заняття

При підготовці до заняття повторити тему ”Наближені обчислення і елементи теорії похибок”. Особливо увагу варто звернути на основні визначення, різновиди похибок і причини їхнього виникнення, правила оцінки похибок результатів обчислень.

Методичні вказівки

У даній роботі пропонується оцінити похибки результатів обчислень. При обчисленні похибок враховувати тільки похибки, обумовлені похибкою початкових даних.

Роботу виконувати в такій послідовності:

1. Записати значення абсолютних і відносних похибок для усіх початкових даних, враховуючи, що усі вони є наближеними величинами і у їхньому записі всі цифри вірні.

2. Записати результати обчислень і їхні похибки.

 

Теоретичні відомості

Наближеним числом а називається число, що незначно відрізняється від точного числа А і замінює його в обчисленнях.

Абсолютною похибкою Δ наближеного числа а називається абсолютна величина різниці між відповідним точним числом А і його наближеним значенням, тобто

Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називають усяке число, яке не менше абсолютної похибки цього числа.

Відносною похибкою d наближеного числа а називається відношення абсолютної похибки ∆ до модуля точного числа А

Граничною відносною похибкою наближеного числа а називається всяке число, яке не менше відносної похибки цього числа.

Значущою цифрою наближеного числа називається всяка цифра в його десятковому зображенні, відмінна від нуля, і нуль, якщо він міститься між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду.

N перших значущих цифр наближеного числа є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, вираженого n -ю значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

Приклад. Якщо в записі наближеного числа а = 35,41 усі цифри вірні, то гранична абсолютна похибка ∆ а 0,005.

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суму абсолютних похибок доданків

Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків

Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суму відносних похибок співмножників

Гранична відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля, дорівнює сумі відносних похибок співмножників

Відносна похибка частки не перевищує суму відносних похибок діленого і дільника

Гранична відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок діленого і дільника

Гранична відносна похибка m - гоступеня числа в m раз більше відносної похибки самого числа

Гранична відносна похибка кореня m - го ступеня в m раз менше відносної похибки підкореневого числа

Загальна формула для похибки

Варіанти завдань

№	A	B	C	H	R	S	Х
	15,3	7,09	3,52	11,2	3,003		5,6
	20,5	5,04	4,53	11,6		5,675	7,6
	21,3	6,0	7,6	12,65	5,860	7,3	5,65
	17,89	7,592	8,05	3,322	6,0	9,835	0,6
	3,45	0,56	7,6	7,31	6,935	6,8	8,00
	12,5	34,02	6,09	5,065	5,53	5,7	3,000
	4,65	3,65	8,784	5,125	5,3		8,000
	56,7	1,65	8,03	8,753	5,765	45,7
	2,431	9,001	6,00	7,0		4,8	5,0
	6,00	5,90	5,678	6,9	12,76	4,5
	65,01	7,076		7,098	8,5	4,000	4,86
	5,027	7,90	6,85	7,0		9,543	8,25
	7,04	4,900	123,0	2,3		5,85	9,6
	12,8	23,80	0,75		7,65	4,870	4,000
	6,0	0,087	9,0	4,765	7,55	5,82
	3,43	7,0	8,62	8,76	5,984	2,562	0,76
	23,7	4,090	9,0	7,0	5,876		4,65
	6,56,	6,0	8,897		7,75	8,64	8,52
	23,6	12,60	3,0	3,5	5,74	4,876	9,125
	45,48	23,5	4,64	4,537	6,7	9,00
		91,09	8,054	5,654	3,765	9,87	4,0
	6,067	7,32	6,02	6,54	3,5		6,31
	0,34	5,00	8,325	7,1	4,78	5,836
	17,8	7,987	6,946	4,54		8,65	2,000
	78,31	7,09	47,98	8,5	3,543	0,765
	23,8	3,35	4,69		6,325	9,736	7,957
	9,01	17,1	4,0	7,27	6,235	8,742
№	A	B	C	H	R	S	Х
	54,8	34,0	6,23	3,174	7,84	9,62
	6,987	67,95	7,87	3,34	5,9	9,41	3,0
	6,82	5,475	8,02	4,5	6,54	9,23	2,00
	9,02	0,789	9,3	5,4	5,75	8,645	3,0
	32,0	0,98	5,0	6,76	4,74	9,654	5,00
	43,24	7,23	17,25	2,362	7,5	6,000
	52,01	6,980	7,0	9,87		5,98	6,00
	3,0	6,23	6,76		4,875	2,67	3,54
	8,91	2,05	0,895	6,4		4,756	4,00
	43,20	6,70	3,617		9,65	7,000	2,7
	4,67	7,009	8,45	5,74	5,3		2,00
	3,654		9,12	0,765	15,75	21,7	8,54
	6,00	8,4	7,80	5,674		6,43	5,4
	5,095	7,21	7,0	4,875		4,7	5,235
	7,231	8,654	8,20	5,1	4,67		3,755
	9,060	2,34	0,870		6,7	8,45	3,6
	4,980	7,21	3,37	7,9		7,45	3,00
	12,23		3,390	9,754	3,00	5,7	6,8
	4,9	8,06	2,3	4,579		6,656	21,22
	71,0	7,76	3,1	7,4	4,53	6,248
	12,9	3,46	5,7	6,8	5,875		2,00
	0,034	3,7	4,6		4,56	7,7	3,25
	5,76	9,717	3,00		3,255	7,5	4,13

 

Приклад виконання завдання

Покрокове обчислення похибок

№	Дія	Значення	Абсолютна похибка	Відносна похибка
	b	4,38	0,005	0,00114
	c	2,78	0,005	0,00180
	h	18,3	0,050	0,00273
	(1)+(2)	7,160	0,0100	0,00140
	(3)×0,5	9,150	0,0250	0,00273
	(4)×(5)	65,514	0,2706	0,00413

Обчислення похибок за загальною формулою

Рекомендована література:

1. Демидович Б.П., Марон А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. Стр. 13 – 46.

2. Данилина Н.И. и др. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976. Стр. 8 – 35.

 

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 2