Дегтярьов Станіслав Борисович

Дроменко Борис Порфірійович

ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання самостійної роботи

для бакалаврів напрямку “Електроніка” (шифр 6.0908)

(Короткі теоретичні відомості, варіанти завдань, приклади виконання завдань)

 

Частина 1

Похибки обчислень. Розв’язок рівнянь та систем рівнянь.

 

 

Редактор

Коректор

 

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5

 

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА ЕКСПЕРЕМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

 

Мета роботи: Освоїти методику та набути практичних навичок підбору емпіричних формул.

Завдання. За експериментальними даними (х_і, y_i), і = :

1. Визначити вид емпіричної залежності y = f _емп (x, a, b).

2. Методом найменших квадратів визначити значення параметрів а, b.

3. Побудувати графік функції y _емп = f (x, a, b).

4. Знайти суму квадратів відхилень

 

Теоретичні відомості

Підбор формул за експериментальними даними називають підбором емпіричних формул. Підбор емпіричних формул складається з двох етапів:

1. З'ясування загального вигляду формули;

2. Визначення найкращих її параметрів.

З'ясування загального вигляду формули.

Для визначення загального вигляду формули за експериментальними даними на координатній площині будується найбільш правдоподібна, так звана, згладжувальна крива. Для визначення конкретного вигляду залежності на заданому відрізку зміни незалежної змінної вибираємо на графіку дві, досить надійні, і, по можливості, далеко віддалені одна від другої точки. Наприклад, нехай це точки (x ₁, y ₁) і (x _n, y _n). Обчислюємо

х _ар = (x ₁+ x _n)/2, х _геом = , х _гарм = 2× x ₁× x_n ×(x ₁+ x _n),

y _ар = (y ₁+ y ₂)/2, y _геом = _, y _гарм = 2× y ₁× y_n / (y ₁+ y_n).

З графіка функції знайдемо

y ₁ = f (x _ар), y ₂ = f (x _геом), y ₃ = f (x _гарм).

Обчислимо

, , ,

.

Мінімальному значенню e _i відповідає i-й вигляд аналітичної залежності y = f _емп (x, a, b):

y = ax + b, y = ab^x, y = 1/(ax + b), y = a ln(x) + b,

y = ax^b, y = a + b / x, y = x /(ax + b).

Визначення найкращих параметрів емпіричної формули.

Визначення найкращих параметрів емпіричної формули виконується методом найменших квадратів.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими параметрами емпіричної формули вважаються ті, для яких сума квадратів відхилень буде мінімальною

Узявши часткові похідні s за невідомими параметрами a і b, одержуємо так звану нормальну системудля визначення коефіцієнтів a і b

розв’язок якої, як правило, досить складний.

Якщо емпірична функція y = f _емп (x, a, b) лінійна, нормальна система є системою двох лінійних рівнянь з невідомими a, b:

Лінеаризація функцій.

y = ab ^x, ln(y) = ln(a) + x ×ln(b), Y = Ax + B,

де Y_i = ln(y_i), A = ln(b), B = ln(a). Визначивши А і В, знайдемо а = e^В, b = e^А.

y = 1/(ax + b), 1/ y = ax + b, Y = ax + b, де Y_i = 1/ y_i.

y = a ln(x) + b, Y = aX + b, де Y_i = y_i, X_i = ln(x_i).

y = ax^b, ln(y) = ln(a) + b ln(x), Y = Ax + B, де Y_i = ln(y_i), X_i = ln(x_i), A = b,

B = ln(a). Визначивши А і В, знайдемо а = е^В, b = A.

y = a + b/x, Y = AX + b, де Y_i = y_{i ,} X_i = 1/ x_i A = b, B = a. Визначивши А і В, знайдемо а = B, b = A.

y = x /(ax + b), 1/ y = a + b/x, Y = AX + B, де Y_i = 1/ x_i, X_i = 1/ x_i, A = b,

B = a. Визначивши А і В, знайдемо а = B, b = A.

 

 

Варіанти завдань

 

Номер варіанта	Незалежна змінна х
1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
Експериментальні дані
	14,2	16,8	18,2	19,0	20,0	20,6	21,7	22,0	22,6	23,1
	9,5	4,7	2,8	1,9	1,5	1,1	0,9	0,7	0,6	0,5
	0,08	0,18	0,28	0,40	0,58	0,71	0,95	1,19	1,58	1,99
Номер варіанта	Незалежна змінна х
1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
Експериментальні дані
	0,5	1,8	3,2	4,5	5,5	7,0	8,1	9,8	11,0	12,2
	2,00	1,15	0,98	0,71	0,68	0,59	0,48	0,46	0,43	0,39
	8,51	5,07	3,95	3,12	2,84	2,45	2,03	1,92	1,80	1,68
	2,00	2,21	2,33	2,42	2,48	2,54	2,58	2,62	2,66	2,69
	0,83	0,43	0,33	0,24	0,19	0,16	0,14	0,12	0,10	0,09
	3,85	4,20	4,70	5,12	5,61	6,25	6,90	7,45	8,30	9,10
	13,9	17,0	21,1	23,7	25,0	27,9	28,9	31,1	32,5	34,1
	18,5			3,5	2,3	1,8	1,3	1,0	0,7	0,4
	0,12	0,27	0,43	0,62	0,93	1,28	1,65	2,45	3,50	5,12
	1,5	2,1	2,6	2,9	3,5	4,0	4,6	5,1	5,4	6,0
	12,9	6,71	5,17	4,04	3,38	2,81	4,47	2,29	1,99	1,90
	2,61	1,42	0,81	0,67	0,59	0,47	0,41	0,35	0,34	0,30
	2,39	2,74	2,94	3,09	3,22	3,27	3,41	3,43	3,51	3,55
	9,83	0,67	0,30	0,20	0,16	0,13	0,10	0,08	0,08	0,07
	4,08	4,93	5,85	7,08	8,42	10,20	12,35	14,40	17,80	21,00
	1,2	2,2	2,8	3,7	4,5	5,0	5,8	6,5	7,3	7,6
	8,5	6,1	5,0	4,7	4,5	4,3	4,1	4,1	4,0	3,9
	0,2	0,4	0,7	1,0	1,4	2,1	2,8	4,0	6,2	9,8
	2,4	2,5	3,3	3,6	3,9	4,4	4,8	5,3	5,6	6,0
	1,85	3,52	6,41	8,27	10,98	12,43	15,97	17,40	20,82	22,90
	17,41	10,51	7,01	5,98	5,22	3,93	3,65	3,30	2,99	2,75
	1,79	2,35	2,51	2,81	2,94	3,06	3,132	3,27	3,31	3,41
	5,22	0,48	0,21	0,14	0,11	0,08	0,07	0,06	0,05	0,04
	2,34	3,01	3,90	5,25	6,53	8,78	11,41	14,73	19,20	24,90
	0,9	2,3	3,3	4,9	6,2	7,9	9,1	11,2	12,8	14,5
	5,0	10,2	11,7	12,5	13,0	13,4	13,6	13,8	13,9	14,1
	5,00	1,54	1,25	1,14	1,09	1,05	1,03	1,01	1,00	0,98
	2,1	2,7	3,2	3,8	4,4	5,2	5,8	6,3	6,9	7,6
	1,90	4,95	7,51	12,02	15,4	19,01	24,30	28,00	33,40	37,90
	13,39	10,52	8,75	7,69	7,03	6,21	6,00	5,85	5,61	5,33
	3,59	4,01	4,55	4,76	4,96	5,13	5,25	5,38	5,48	5,61
	1,26	1,76	2,51	3,45	4,92	6,70	9,48	13,41	18,73	26,24
	0,1	0,3	0,5	0,8	1,3	1,9	2,5	3,2	4,1	5,0
	9,0	5,4	4,4	3,8	3,3	3,1	2,9	2,8	2,7	2,7
	4,6	4,1	3,6	3,6	3,0	2,5	2,1	1,8	1,5	0,9
	4,61	3,48	3,18	2,91	2,72	2,59	2,49	2,43	2,34	2,21
	0,91	2,22	2,71	3,33	3,52	3,97	4,15	4,48	4,65	4,82
	0,42	0,32	0,25	0,22	0,18	0,16	0,15	0,13	0,12	0,11
	1,75	2,21	2,65	3,53	4,40	5,25	6,72	8,48	10,56	13,08
	13,7	12,0	11,5	10,0	8,6	7,0	5,6	4,6	3,3	2,1
Номер варіанта	Незалежна змінна х
1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
Експериментальні дані
	11,2	5,0	2,9	2,1	1,4	1,1	0,7	0,5	0,3	0,2
	3,7	3,3	3,0	2,9	2,5	2,2	1,8	1,5	1,4	1,0
	8,03	5,22	3,97	3,37	2,91	2,75	2,40	2,20	2,15	1,91
	1,32	2,72	3,21	3,94	4,31	4,75	5,02	5,21	5,51	5,66
	0,94	1,27	1,74	2,26	3,19	4,25	5,72	7,81	10,42	14,10
	0,8	2,3	4,3	6,2	9,0	11,8	15,1	17,9	21,8	25,3
	6,1	4,5	3,9	3,7	3,6	3,5	3,4	3,3	3,3	3,2

 

 

Приклад виконання завдання

 

xi	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00	6,00	7,00	8,00	9,00	10,00
yi	0,91	2,22	2,71	3,31	3,52	3,97	4,15	4,48	4,65	4,82

 

Розв’язок.

1. Визначення вигляду залежності (емпіричної формули).

a). Побудова графіка залежності y = f (x).

b). Вибираємо точки (х _1; у ₁) і (х _10; у ₁₀), для яких х ₁ = 1,00, у ₁ = 0,91, х ₁₀ = 10,00, у ₁₀ = 4,82. Обчислюємо:

c). Із графіка функції находимо

Так як – мінімальне, то вибираємо залежність

Зробимо заміну змінної , тоді , де , .

2. Визначення найкращих параметрів емпіричної формули.

Для визначення a і b методом найменших квадратів необхідно розв’язати систему рівнянь

 

Всі необхідні обчислення подані у наступній таблиці:

 

 

№	xi
	1,00	0,91	0,000	0,000	0,000	0,94	0,0009
	2,00	2,22	0,693	0,480	1,538	2,10	0,0144
	3,00	2,71	1,099	1,207	2,978	2,78	0,0049
	4,00	3,33	1,386	1,922	4,615	3,27	0,0036
	5,00	3,52	1,609	2,590	5,664	3,64	0,0144
	6,00	3,97	1,792	3,210	7,114	3,95	0,0004
	7,00	4,15	1,946	3,787	8,076	4,21	0,0036
	8,00	4,48	2,079	4,324	9,314	4,43	0,0025
	9,00	4,65	2,197	4,828	10,216	4,63	0,0004
	10,00	4,82	2,303	5,302	11,100	4,81	0,0001
S		34,76	15,104	27,65	60,615		0,0452

 

Тоді

Розв’язавши нормальну систему рівнянь, отримаємо а = 1,68; b = 0,94.

 

Шукана емпірична залежність

 

Похибка апроксимації

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6

 

СИМПЛЕКС-МЕТОД РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ

ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

 

Мета роботи:

Теоретичні відомості

При розв’язуванні задач лінійного програмування (ЗЛП) симплекс методом

необхідно:

1. Привести математичну модель ЗЛП до канонічного вигляду.

2. Визначити початковий допустимий базисний розв’язок ЗЛП.

3. Заповнити 1-шу симплекс-таблицю.

4. Перевірити, чи базисний розв’язок є оптимальним.

5. Якщо базисний розв’язок оптимальний – розв’язок закінчено.

6. Якщо базисний розв’язок не оптимальний, заповнити наступну сімплекс-таблицю і перейти до пункту 4.