Наближене обчислення визначеного інтеграла

Мета роботи: Освоїти методику і набути практичних навичок обчислення визначеного інтеграла чисельними методами.

Завдання:

1. Обчислити визначений інтеграл за формулою трапецій, розбивши проміжок інтегрування спочатку на 4, а потім на 8 рівних частин.

2. Обчислити визначений інтеграл за формулою парабол (Симпсона), розбивши проміжок інтегрування спочатку на 4, а потім на 8 рівних частин.

3. Визначити похибку обчислення інтеграла в обох випадках.

4. Обчислити визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца

5. Обчислення вести з чотирма десятковими розрядами.

 

Теоретичні відомості

Значення визначеного інтеграла , де функція f (x) безперервна на відрізку можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца, якщо відома первісна функція F (x):

Однак, у багатьох випадках, первісна функція F (x) не може бути знайдена аналітичним шляхом. Крім того, на практиці підінтегральна функція f (x) часто задається таблично.

У цих випадках застосовуються чисельні методи інтегрування.

Формула трапецій

Нехай відрізок інтегрування розбитий на n частин із кроком h = (b – a)/ n. Тоді

Формула Симпсона (парабол)

n - обов'язково парне число.

Точність обчислень

Для визначення точності обчислень, як правило, застосовують подвійне перерахування кроками h і 2 h і вважають, що співпадаючі десяткові знаки належать точному значенню інтеграла.

Нехай наближене значення інтеграла при числі розбивок n,

наближене значення інтеграла при числі розбивок 2 n.

Тоді

.

 

Варіанти завдань

 

№ п/п	f (x)	а	b
	(3 x ^2 – 4)^3
		0,5	2,5
	3(x ^2 + 3)^3 × x ^2	–1
	(3 x ^2 + 5)^3× x
	sin^3(x)cos(x)	–2
	cos^3(4 x)sin(x)	–0,5	1,5
	arctg^3(x) / (1 + x ^2)	1,5	3,5
	tg^2(x) / cos^2(x)
		–1
	2 x / (x ^2 + 5)	–0,5	1,5
	e^x / (e^x + 2)	–1
	5 ^x	–2
	e ^5 x	–1
	e ^cos^(x) sin(x)	–1
	e ^sin(x)cos(x)
		–0,5	1,5
	e ^1/ x / x ^2	0,5	2,5
№ п/п	f (x)	а	b
		–1
	ln (x) / x
	x sin(x ^2)
	sin (2 x + 5)
	1 / (x ^2 + 4)	–1
		0,5	2,5
	x sin(x)
	ln (x)
	arctg (x)	–1
	arcsin (x)	–1
	x ×cos(x)
	x ^3ln(x)
	ln (x) / x ^2
	x / cos^2(x)	–1
	ln(sin(x)) / cos^2(x)	–1
	sin(x)ln(cos(x))	–1
	ln(arctg(x)) / (1 + x ^2)	0,5	2,5
	cos(x)ln(sin(x))
	ln(cos(x)) / sin^2(x)	–1
	ln(tg(x)) / cos^2(x)	–1
	x e^-x	–2
	x tg^2(x)	–1
	lg(x) / x ^2
	x ln(x)
	1 / (x ^2 – 7 x + 14)
	x ^2 e^-x
	x arctg(x)
	ln^2(x)

 

Приклад виконання завдання.

1. Обчислити визначений інтеграл за формулою трапеції

 

Розбиваємо проміжок інтегрування на 4 рівні частини (n = 4). Обчислення подаємо у вигляді таблиці.

 

 

n	xi
	0,5	7,0355
	1,0		8,0000
	1,5		8,9907
	2,0		9,9497
	2,5	10,8759
S	17,9114	26,9404

 

I_n =

 

Розбиваємо проміжок інтегрування на 8 рівних частин (n = 8). Обчислення подаємо у вигляді таблиці.

 

n	xi
	0,50	7,0355
	0,75		7,5028
	1,00		8,0000
	1,25		8,4985
	1,50		8,9907
	1,75		9,4746
	2,00		9,9497
	2,25		10,4165
	2,50	10,8759
S	17,9114	62,8328

 

I _{2 n} =

 

Похибка обчислення інтеграла

 

2. Обчислити визначений інтеграл за формулою парабол (Симпсона) Розбиваємо проміжок інтегрування на 4 рівні частини (n = 4). Обчислення подаємо у вигляді таблиці.

 

n	xi
	0,5	7,0355
	1,0		8,0000
	1,5			8,9907
	2,0		9,9497
	2,5	10,8759
S	17,9114	17,9497	8,9907

 

I_n =

Розбиваємо проміжок інтегрування на 8 рівних частин (n = 8). Обчислення подаємо у вигляді таблиці.

 

n	xi
	0,50	7,0355
	0,75		7,5028
	1,00			8,0000
	1,25		8,4985
	1,50			8,9907
	1,75		9,4746
	2,00			9,9497
	2,25		10,4165
	2,50	10,8759
S	17,9114	35,8924	26,9404

 

I _{2 n} =

 

Похибка обчислення інтеграла

3. Обчислити визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбница.

де F (x) – первісна функція, похідна якої