Наближений розв’язок системи двох нелінійних рівнянь

Мета роботи: Освоїти методику і набути практичних навичок розв’язку систем нелінійних рівнянь.

Завдання: У смузі a £ х £ b розв’язати з точністю e = 0,001 систему рівнянь

1. Відокремити корені системи з точністю e = 0,1.

2. Уточнити корені системи методом простої ітерації з точністю e = 0,001.

3. Розв’язати систему рівнянь засобом “Поиск решения..” програми Excel.

Підготовка до заняття:

При підготовці до заняття повторити тему ”Розв’язок систем нелінійних рівнянь”. Необхідно усвідомити, які наближені методи можуть бути застосовані для розв’язку систем нелінійних рівнянь (метод Ньютона, метод простої ітерації і т.п.); з яких етапів складається процес розв’язку систем нелінійних рівнянь чисельним методом; як відокремлюються корені систем нелінійних рівнянь і перевіряється правильність їх відділення; у чому полягає штучний прийом одержання формул, що забезпечують збіжність ітераційного процесу уточнення коренів системи нелінійних рівнянь; з яких розумінь вибирається початкове наближення кореня; як здійснюється уточнення коренів системи до заданої точності.

 

Теоретичні відомості

 

Задано систему

Для визначення приблизно наближених значень коренів системи будують криві

та і визначають координати їх точок перетину. Для

уточнення коренів система перетворюється до вигляду

Алгоритм розв’язку системи методом простої ітерації задається наступними формулами:

Процес обчислень закінчується при виконанні умов

Ітераційний процес сходиться, якщо виконуються умови:

чи

Для перетворення системи (1) до вигляду (2) з дотриманням умов (3) чи (4) рекомендується наступне:

Покладаємо

Коефіцієнти знайдемо як наближений розв’язок наступної системи рівнянь

Коефіцієнти знайдемо як наближений розв’язок наступної системи рівнянь

 

Варіанти завдань

№ п/п		[ a; b ]
		0,5; p
		–3; 0
		0; 5
		–4; 0
№ п/п		[ a; b ]
		0; 1,5
		0; 5
		–2; 0
		0; 2
		–3; 0
		0; 5
		0; 3
		–0,5p; 0,5p
		1; 5
		2; 4
		–4; 0
		0; 3
		0; 1,5
№ п/п		[ a; b ]
		0; 4
		–3; 1
		–0,5p; 0,5p
		–2; 0,5
		–2; 2
		2; 4
		0; 6
		0; 4
		–4; 4
		0; 5
		–2; 6
		0; 8
		–4; 0
		0; 3
№ п/п		[ a; b ]
		–4; 0
		–2; 2
		1; 6
		0; 6
		1; 4
		0; 1,5p
		–p; p
		–4; 0
		0; 6
		0; 5
		–10; 0
		0; 3
		0; 4
№ п/п		[ a; b ]
		0; 6
		0; 6
		0; 2p
		0; 1,5p
		–2; 4
		0; p

Приклад виконання завдання

Приклад 1.

У смузі методом простої ітерації обчислити з точністю корені системи

Розв’язок.

Для визначення початкових наближень будуємо криві

Крива (а) є коло радіусом 4 і з центром у точці (–1; 1). Крива (b) –гіпербола з параметрами a = 2; b = 1. З графіка визначаємо координати точки (точок) перетину

Подамо початкову систему у вигляді:

Визначаємо значення похідних в точці з координатами х ₀ = -3,9; у₀ = -1,7.

Для визначення параметрів складаємо систему

Розв’язавши систему знайдемо

Для визначення параметрів складаємо систему

Розв’язавши систему знайдемо

Отже,

де

Обчислення заносимо до таблиці

 

n	xn yn
	–3,9	–0,0496	–3,9496
–1,7	–0,0027	–1,7027
	–3,9496	0,0007	–3,9489
–1,7027	0,0002	–1,7025
	–3,9489
–1,7025

 

Відповідь:

 

Приклад 2. У смузі за допомогою засобу “ Поиск решения...” програми Excel обчислити з точністю корені системи

Розв’язок.

Пара (х, у) являються розв’язком системи тоді і тільки тоді, коли вона є розв’язком наступного рівняння з двома невідомими:

Розв’яжемо це рівняння за допомогою засобу пошуку розв’язку програми Excel.

 

Рекомендована література:

1. Демидович Б.П., Марон А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. Стр.148–151, 152-153.

2. Данилина Н.И. и другие. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976.

Стр. 139–142, 142–144.

 

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 4