Метод проб (дихотомії, половинного розподілу).

Нехай дано рівняння f (х) = 0, де f (х) неперервна, монотонна функція на відрізку [ a, b ], крім того, f (а)× f (b) < 0. Для уточнення кореня обчислюється значення f (х) у середній точці відрізка [ a; b ] – точці с = (a + b)/2. Якщо f (с) = 0, то с – корінь рівняння. Якщо f (с) 0, то вибираємо той із проміжків (a, c) чи (c, b), на кінцях якого функція f (x) має протилежні знаки. Процес розподілу проміжку на дві частини проводиться доти, поки не одержимо проміжок (а_n, b_n), довжина якого не перевищує 2e (e – задана точність обчислення кореня). Корінь рівняння дорівнює e.

Метод Ньютона (метод дотичних).

Якщо неперервні і зберігають знак на проміжку (a, b), то уточнення кореня виконується за рекурентною формулою

причому за х ₀ приймається той кінець інтервалу, у якому знак функції f (x)збігається зі знаком другої похідної .

Метод ітерацій.

Для уточнення кореня методом ітерації рівняння f(x) = 0 еквівалентним чином перетворюється до вигляду x = j(x). Ітераційний процес уточнення кореня сходиться, якщо на інтервалі (а; b) |j¢(x)|<1.

Перетворення рівняння f (x) = 0 до вигляду x = j(x):

f (x) = 0 c×f (x) = 0 x = x + c×f (x), тобто j(x) = x + c× f (x),

Прирівнюючи j¢(x) 0,5 чи – 0,5, одержуємо

чи , де .

Рекурентна формула уточнення коренів:

де .

 

Варіанти завдань

№ п/п	f (x) = 0	[ a, b ]
	= 0	0; p
	1,4 x – 2cos(x) = 0	-0,5π; 0,5π
	sin(x) – 0,5 = 0	-π; π
	cos(x) + 1/(x – 2) = 0	-3; 0
№ п/п	f (x) = 0	[ a, b ]
	sin(x) – ln(x – 1) = 0	1,6; 4
	sin(x + 0,2) – 1/(x + 2) = 0	0; 2
	tg(0,25p x) + ln(x + 1) = 0	4; 6
	2sin(x) – = 0	0; 1,5
	cos(x) + 1,5 – (x + 1,5)^2 = 0	0; 2
	2sin(x) + 1,5 – (x + 2,5)^2 = 0	-4; 0
	2cos(x) + = 0	-2; 1
	arcsin(0,25 x) – 1/(x – 0,5) = 0	0,6; 3
	cos(x) – lg(x + 1,5) = 0	0; 2
	sin(x) + 1,5 – = 0	0; 3
	= 0	0; 2
	tg(0,25π x) – = 0	0; 1,5
	= 0	-2; 0
	arccos(0,25 x) – = 0	0; 2
	cos(x + 0,5) + 1– = 0	0; 4
	cos(x + 1,5) + (x – 2,3)^2 – 1,5 = 0	3; 5
	3,5sin(x) – lg(x + 3,5) = 0	2; 4
	arcsin(0,25× x) + 0,7× = 0	1; 3
	arccos(0,2 x) – 2,5 +(x + 1,5)^2 = 0	-1,5; 1,5
	arcctg(x + 0,5) - lg(x + 3,5) = 0	0; 2
	arctg(x – 1,2) + = 0	-2; 2
	tg(x) + ln(x + 1,3) = 0	-1; 1
	arcsin(x /3) + 1,5 – (x – 0,5)^2 = 0	0; 3
	arccos(0,2 x) – 2,3 / (x – 1,5)^2 = 0	-1; 1
	arctg(x) + 0,75 – (x – 0,5)^2 = 0	1; 3
	cos(x – 0,5) – 0,5× = 0	-4; -2
№ п/п	f (x) = 0	[ a, b ]
	x sin(x + 0,6) – 1,4 = 0	0; 2
	ctg(p x / 3) – 1,25 ^x = 0	-3; -1
	arcsin(0,5 x) + 1,5 – = 0	0; 2
	1,7 ^x – 3sin(x) = 0	0; 2
	Sin(x – 0,5) + 1 / (x – 2) = 0	-3; 0
	2sin(x) – ln(x + 1,6) = 0	1; 5
	ctg(p x /4) – = 0	-3,6; -0,6
	arcctg(x) + 0,8 – (x – 2,1)^2 = 0	-1; 2
	2sin(0,5 x) – = 0	0; 3
	cos(x + 1) – (x + 0,4)^2= 0	-1; 3
	arcctg(x) – 0,5 – = 0	-2; 2
	arcctg(x – 1) – 1 / ln(x + 2) = 0	0; 5
	ln(x + 1,5) – arcctg(x – 1) + 1 = 0	0; 3
	0,5 + arcsin(x / 3) – (x + 0,5)^3=0	-2; 2
	– lg(x + 1) = 0	0; 3
	– 1 / lg(x + 2) = 0	0; 2
	1/(x – 2) + –2 = 0	-3; 0
	2sin(x – 1) – = 0	0; 3
	arcsin(x / 3) + ln(x – 1) = 0	1,5; 3
	(x + 3) / (x – 1) – ln(x + 2) = 0	-5; 0

 

Приклад виконання завдання

Приклад 1. Відділити корені рівняння на відрізку

[-2; 2 ] та уточнити всі корені рівняння методом дихотомії з точністю e = 0,1;

e = 0,01; e = 0,001.

Розв’язок.

Етап 1. Відділення коренів на відрізку [-2; 2 ]

З графіка видно, що корінь рівняння знаходиться на інтервалі (-2;-1). Перевіряємо правильність відділення кореня.

Корінь відділений правильно.

Етап 2. Уточнення коренів.

e = 0,1

x		Знак функції
-2,0	-0,102	–
-1,0	1,362	+
-1,5	0,766	+
-1,8	0,311	+

 

 

e = 0,01

x		Знак функції
-1,90	0,122	+
-1,95	0,015	+
-1,98	-0,054	–
-1,97	-0,030	–

 

 

 

e = 0,001

x		Знак функції
-1,960	-0,0070	–
-1,955	0,0040	+
-1,958	-0,0030	–
-1,956	0,0020	–

 

Приклад 2. Уточнити всі корені рівняння з точністю

e = 0,001 методом ітерацій на відрізку [-2; 2 ].

Розв’язок.

Корінь даного рівняння знаходиться на відрізку [-2; -1]

Перетворимо рівняння f (x) = 0 до вигляду

с ×(

x = x+с ×(

j(x) = x+с ×(

j¢(x) = 0,5;

= 0,5;

Рекурентна формула:

 

№ п/п	xn		| xn+1-xn |
	–1,5000	–1,7867	0,2867>e
	–1,7867	–1,9118	0,1251>e
	–1,9118	–1,9483	0,0365>e
	–1,9483	–1,9555	0,0072>e
	–1,9555	–1,9567	0,0012>e
	–1,9567	–1,9569	0,0002<e
	–1,9569

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння засобами Excel (“Подбор параметра”).

Розв’язок. На с. 15 приведений розв’язок за допомогою ф-ції “ Подбор параметра”.

Рекомендована література:

1. Демидович Б.П., Марон А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. Стр. 112–119, 123–131, 135-148.

2. Данилина Н.И. и другие. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976.

Стр. 108–123, 127–131, 135–139.

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 3