Розв’язок нелінійних рівнянь методом Ньютона

 

Для розв’язку нелінійного рівняння f(x) = 0 можна скористатися різними методами. Один з найшвидших і найпростіших методів – це метод Ньютона-Рафсона, або метод дотичних. Графічна інтерпретація приведена нижче:

Ми маємо певну стартову точку x₀, в цій точці будуємо дотичну до графіка функції, знаходимо точку перетину дотичної з віссю x₁ і далі починаємо знову.

Ітераційний процес продовжується аж доки ми не отримаємо достатньо малого значення | f(x_i) |, або доки не буде досягнуто максимальне значення ітерацій (у випадку розбіжності).

Ітераційна формула має вигляд

Збіжність квадратична, тож досить точний розв’язок отримується вже на перших 3-5 ітераціях.

Завдання: виконати один крок метода Ньютона для нелінійного рівняння

Нехай задано функцію f = (–x–5)(x+3)+2

і стартову точку x₀ = –1

 

скористаємося формулою x_i+1 = x_i – f(x_i)/f '(x_i)

 

отримаємо:

 

f ' = –2x–8

 

x₁ = –1.0 – (–6.00/–6.00) = –2.00

 

Відповідь: x₁ = –2.00

2.1.2 Завдання для самостійної роботи

 

Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:

 

Завдання № 1

 

f = (x-3.6)*(-x-1.6)-2.3

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 2

 

f = (-x+2.8)*(-x+3.8)-5.3

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 3

 

f = (x^2)*(-x^2)+1.7

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 4

 

f = (x+4.3)*(-x+5.1)-3.4

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 5

 

f = (x^2)*(-x^2)+3.1

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 6

 

f = (-x-1.7)*(x+5.1)+1.7

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 7

 

f = (-x^2)*(-x^2)-3.3

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 8

 

f = (-x+3.6)*(x^2)-2.1

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 9

 

f = (-x-1.5)*(x+1.4)+1.1

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 10

 

f = (x-4.8)*(x^2)+2.8

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 11

 

f = (x^2)*(x+3.1)-1.6

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 12

 

f = (x^2)*(-x^2)+5.6

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 13

 

f = (x-5.4)*(x^2)+1.9

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 14

 

f = (-x+1.3)*(-x+4.5)-5.2

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 15

 

f = (x-1.2)*(x-5.2)-4.9

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 16

 

f = (x^2)*(x^2)-5.7

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 17

 

f = (-x^2)*(x^2)+5.6

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 18

 

f = (-x+4.1)*(x^2)-4.3

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 19

 

f = (x^2)*(x^2)-3.1

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 20

 

f = (x^2)*(x+1.2)-5.8

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 21

 

f = (x-4.2)*(-x^2)-3.3

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 22

 

f = (x^2)*(-x^2)+3.8

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 23

 

f = (x-1.6)*(-x-2.3)+4.8

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 24

 

f = (x+3.8)*(-x-5.6)+2.8

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 25

 

f = (x+1.8)*(x-3.6)-2.1

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 26

 

f = (x^2)*(-x^2)+1.8

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 27

 

f = (x-5.2)*(-x+1.2)+5.8

для

x0 = 1.000000

 

Завдання № 28

 

f = (-x+3.1)*(x-3.8)+4.4

для

x0 = -1.000000

 

Завдання № 29

 

f = (-x^2)*(-x^2)-4.7

для

x0 = -2.000000

 

Завдання № 30

 

f = (x+5.4)*(-x^2)+2.7

для

x0 = -2.000000

 

Розв’язок систем нелінійних рівнянь методом Ньютона

Системи нелінійних рівнянь розв’язують аналогічно до нелінійних рівнянь, однак маємо замість однієї функції вектор функцій, замість однієї невідомої – вектор невідомих: F(x) = 0.

Ітераційна формула та ж:

Однак похідна у даному випадку буде якобіаном J(x_n), і операція ділення на матрицю замінюється операцією знаходження оберненої матриці.

Фактично, необхідно розв’язати систему лінійних рівнянь J(x_n)∙ ∆x_n= –F(x_n) (щоб не шукати обернену матрицю).

Завдання: сформувати систему лінійних рівнянь для розв'язку системи нелінійних рівнянь

Нехай маємо систему і стартову точку:

f₁ = x³y + y²x² – 2.5

f₂ = 2xy² – 1.5

x₀ = [-1; 1];

 

Сформуємо систему відповідно до формули J∙x = –F

 

Якобіан:

J₁₁ = 3yx² + 2xy² = 1.00

J₁₂ = x³ + 2yx² = 1.00

J₂₁ = 2y² = 2.00

J₂₂ = 4xy = –4.00

 

Значення функції в стартовій точці:

f₁ = x³y + y²x² – 2.5 = -2.50

f₂ = 2xy² – 1.5 = -3.50

 

Відповідь:

 

Увага, часто при виконанні ручного розрахунку губиться знак “–” біля F.

 

2.2.2 Завдання для самостійної роботи

Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:

 

Завдання № 1

 

f1 = 2*y^2*x+1.5

f2 = x*y+y^3+1.5

X0 = [-1; -1]

 

Завдання № 2

 

f1 = y^3*x+x^2*y-1.5

f2 = x^2*y-x^3*y+1.5

X0 = [-1; -1]

 

Завдання № 3

 

f1 = y^3+y^2*x^2-2.5

f2 = x^2*y-y^2*x-1.5

X0 = [ 1; 1]

 

Завдання № 4

 

f1 = y^3-x^2*y+2.5

f2 = x^4-x^3*y-1.5

X0 = [ 1; -2]

 

Завдання № 5

 

f1 = y^3*x-x^3+2.5

f2 = y^2*x^2-x^3*y-2.5

X0 = [ 1; -1]

 

Завдання № 6

 

f1 = x^3+x*y-1.5

f2 = y^2*x^2-y^3*x-1.5

X0 = [ 1; -1]

 

Завдання № 7

 

f1 = y^2*x-x*y-1.5

f2 = x^3-x^3*y-1.5

X0 = [ 1; -2]

 

Завдання № 8

 

f1 = x^3+y^3*x+2.5

f2 = x^3*y-y^2*x+1.5

X0 = [ 1; -1]

 

Завдання № 9

 

f1 = y^3-x^3-2.5

f2 = x^3-x^2*y+1.5

X0 = [-1; 1]

 

Завдання № 10

 

f1 = x^3+x^2*y+1.5

f2 = y^3+x^2*y+2.5

X0 = [-1; -2]

 

Завдання № 11

 

f1 = y^2*x-x^2*y-2.5

f2 = x^3-x^3*y-1.5

X0 = [ 1; -2]

 

Завдання № 12

 

f1 = y^2-x^2*y-2.5

f2 = x*y-x^3-2.5

X0 = [-2; 0]

 

Завдання № 13

 

f1 = y^2*x+y^3+2.5

f2 = x^2+x^3*y+2.5

X0 = [ 1; -2]

 

Завдання № 14

 

f1 = x*y-y^2*x-1.5

f2 = x^3*y-y^3*x-2.5

X0 = [-2; 1]

 

Завдання № 15

 

f1 = x^2*y+x^4-2.5

f2 = x^3*y-x^2*y+1.5

X0 = [-1; -2]

 

Завдання № 16

 

f1 = y^2*x-x^3*y+1.5

f2 = y*x-x*y^3+2.5

X0 = [-1; -2]

 

Завдання № 17

 

f1 = y^2*x^2-x^4-2.5

f2 = x^2-x^3*y-2.5

X0 = [-1; 1]

 

Завдання № 18

 

f1 = x*y^3+y^2-1.5

f2 = x*y^3+y*x+1.5

X0 = [ 0; 1]

 

Завдання № 19

 

f1 = y^2*x+y*x^2+1.5

f2 = y*x-y^2*x-1.5

X0 = [-1; 1]

 

Завдання № 20

 

f1 = y^2*x^2-x^4+1.5

f2 = x^3+x^3*y+2.5

X0 = [-1; 0]

 

Завдання № 21

 

f1 = x^4-x^3*y-2.5

f2 = x^3-y^2*x^2+2.5

X0 = [ 1; -1]

 

Завдання № 22

 

f1 = x^2+y^2*x^2-2.5

f2 = y^2*x^2+y^2*x-2.5

X0 = [ 1; -2]

 

Завдання № 23

 

f1 = x^3*y-y^2*x+1.5

f2 = y^3+y*x^2-1.5

X0 = [-2; 1]

 

Завдання № 24

 

f1 = y^2-y*x^2-1.5

f2 = y*x^2+x^3*y-1.5

X0 = [-2; -2]

 

Завдання № 25

 

f1 = y*x+x^3*y-2.5

f2 = y^2*x-y*x^2+1.5

X0 = [-1; -1]

 

Завдання № 26

 

f1 = y^2*x^2+x*y^3-1.5

f2 = y^3-x^3-2.5

X0 = [ 1; -1]

 

Завдання № 27

 

f1 = y^2*x^2+y^2*x-1.5

f2 = y*x^2-x^4+1.5

X0 = [ 1; 1]

 

Завдання № 28

 

f1 = y^2*x+y*x+1.5

f2 = y*x-x^3*y+2.5

X0 = [-2; -1]

 

Завдання № 29

 

f1 = y*x^2+x^4-2.5

f2 = y^2*x-x^3*y+1.5

X0 = [-2; -1]

 

Завдання № 30

 

f1 = 2*y^2*x-1.5

f2 = y^3+x^3*y+2.5

X0 = [ 0; -1]

Розділ 3. Розв’язок диференційних рівнянь