ТОП 10:

Завдання: виконати LU-розклад матриці



 

–3 –11

 

Будемо записувати матриці L та U разом.

 

1. Рахуємо перший рядок матриці U:

U11 = A11

U12 = A12

U13 = A13

U14 = A14

 

       
       
       

 

2. Рахуємо перший стовпчик матриці L:

L21 = A21/U11

L31 = A31/U11

L41 = A41/U11

 

     
     
     

 

3. Рахуємо другий рядок матриці U:

U22 = A22 – L21∙U12

U23 = A23 – L21∙U13

U24 = A24 – L21∙U14

 

–2
     
     

 

4. Рахуємо другий стовпчик матриці L:

L32 = (A32 – L31∙U12)/U22

L42 = (A42 – L41∙U12)/U22

 

–2
–3    
–3    

 

5. Рахуємо третій рядок матриці U:

U33 = A33 – L31∙U13 – L32∙U23

U34 = A34 – L31∙U14 – L32∙U24

 

–2
–3 –1
–3    

 


6. Рахуємо третій стовпчик матриці L:

L43 = (A43 – L41∙U13 – L42∙U23)/U33

 

–2
–3 –1
–3 –2  

 

7. Рахуємо четвертий рядок матриці U:

U44 = A44 – L41∙U14 – L42∙U24 – L43∙U34

 

–2
–3 –1
–3 –2 –3

 

Маємо відповідь – зверху матриця U, знизу – матриця L.

1.1.2 Завдання для самостійної роботи

Виконайте LU-розклад матриці

 


Завдання № 1

 

| 2 1 2 |

| 2 -2 5 |

| -4 1 -3 |

 

Завдання № 2

 

| -3 4 3 |

| 6 -6 -4 |

| -6 6 6 |

 

Завдання № 3

 

| -2 2 -3 |

| 2 -6 5 |

| 2 2 3 |

 

Завдання № 4

 

| -4 1 4 |

| 4 -4 -6 |

| 8 -5 -6 |

 

Завдання № 5

 

| -4 3 4 |

| -4 2 1 |

| -4 2 -1 |

 

Завдання № 6

 

| -3 3 2 |

| -6 7 3 |

| -6 4 3 |

 

Завдання № 7

 

| 1 1 -1 |

| -4 -2 1 |

| -2 6 -6 |

 

Завдання № 8

 

| 3 -3 -1 |

| 9 -8 -2 |

| -3 2 3 |

 

Завдання № 9

 

| 4 -1 -4 |

| 8 1 -7 |

| 4 2 -2 |

 

Завдання № 10

 

| -2 -1 -3 |

| 4 -2 2 |

| 4 -6 2 |

 

Завдання № 11

 

| -2 2 -3 |

| 2 2 5 |

| -2 -2 -1 |

 

Завдання № 12

 

| 4 -3 1 |

| -8 8 1 |

| 8 -8 2 |

 

Завдання № 13

 

| -3 3 -3 |

| -3 7 -7 |

| 6 6 -9 |

 

Завдання № 14

 

| -2 -1 -4 |

| 4 -2 7 |

| -4 2 -9 |

 

Завдання № 15

 

| 3 -2 -1 |

| -3 3 2 |

| 6 -3 -5 |

 

Завдання № 16

 

| -2 -1 -2 |

| 2 -1 3 |

| -4 -8 2 |

 

Завдання № 17

 

| -2 4 4 |

| 4 -6 -5 |

| -4 6 1 |

 

Завдання № 18

 

| 2 -3 2 |

| -6 6 -5 |

| 2 6 -5 |

 

Завдання № 19

 

| 2 -2 1 |

| 6 -3 1 |

| 4 5 -1 |

 

Завдання № 20

 

| 3 -3 -1 |

| -3 4 3 |

| 6 -5 -3 |

 

Завдання № 21

 

| -2 1 1 |

| 6 -2 -5 |

| -6 5 3 |

 

Завдання № 22

 

| 4 -4 1 |

| 4 -3 -2 |

| 4 -3 2 |

 

Завдання № 23

 

| 1 2 -1 |

| -3 -7 5 |

| -2 -2 2 |

 

Завдання № 24

 

| -3 -1 -2 |

| -3 -2 -3 |

| 6 -1 -1 |

 

Завдання № 25

 

| 3 1 -4 |

| -3 2 3 |

| 3 4 -2 |

 

Завдання № 26

 

| 2 -2 3 |

| 6 -7 5 |

| 2 -1 3 |

 

Завдання № 27

 

| 2 3 -2 |

| -2 -6 4 |

| -6 -3 6 |

 

Завдання № 28

 

| -1 -2 2 |

| 2 6 -8 |

| -2 -8 9 |

 

Завдання № 29

 

| 3 3 -1 |

| 3 5 -4 |

| -3 -1 -4 |

 

Завдання № 30

 

| -4 3 -3 |

| 4 -1 6 |

| 4 -5 -4 |

 

Завдання № 31

 

| 1 2 -3 |

| -1 -4 5 |

| -1 4 -7 |

 

Завдання № 32

 

| 2 -3 2 |

| 2 -6 3 |

| -4 9 -9 |



Завдання: розв'язати систему лінійних рівнянь за відомим LU-розкладом

Нехай ми маємо систему:

 

та відомий LU-розклад:

,

Розв'яжемо рівняння Ly = b

y1 = b1 = –3.0000

y2 = b2 – L21 ∙ y1 = 6.0000

y3 = b3 – L31 ∙y1 – L32 ∙ y2 = 8.0000

 

Розв'яжемо рівняння Ux = y

x3 = y3 / U33 = 1.0000

x2 = (y2 – U23 ∙ x3) / U22 = –1.0000

x1 = (y1 – U12 ∙ x2 – U13 ∙ x3) / U11 = 1.0000

 

Відповідь: x = | 1 -1 1 |T

1.1.4 Завдання для самостійної роботи

Розв’яжіть систему лінійних рівнянь за відомим LU-розкладом

 


Завдання № 1

 

| 1 -4 -3 | |x1| |-5|

| 1 -2 -1 | x |x2| = |-1|

| 1 -2 -4 | |x3| |-4|

U:

| 1 -4 -3 |

| 0 2 2 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

| 1 1 1 |

 

Завдання № 2

 

|-2 1 1 | |x1| | 2|

| 4 -3 1 | x |x2| = | 0|

|-2 2 -1 | |x3| | 0|

U:

|-2 1 1 |

| 0 -1 3 |

| 0 0 1 |

L:

| 1 0 0 |

|-2 1 0 |

| 1 -1 1 |

 

Завдання № 3

 

| 3 3 -3 | |x1| | 3|

| 6 3 -5 | x |x2| = | 4|

|-3 -6 6 | |x3| |-3|

U:

| 3 3 -3 |

| 0 -3 1 |

| 0 0 2 |

L:

| 1 0 0 |

| 2 1 0 |

|-1 1 1 |

 

 

Завдання № 4

 

| 3 -4 2 | |x1| | 0|

|-6 6 -1 | x |x2| = |-1|

| 9 -8 -3 | |x3| |-1|

U:

| 3 -4 2 |

| 0 -2 3 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

|-2 1 0 |

| 3 -2 1 |

 

Завдання № 5

 

| 3 1 -3 | |x1| | 1|

| 3 -2 -2 | x |x2| = |-1|

|-3 -4 3 | |x3| |-4|

U:

| 3 1 -3 |

| 0 -3 1 |

| 0 0 -1 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

|-1 1 1 |

 

Завдання № 6

 

| 1 2 1 | |x1| | 4|

| 1 -1 3 | x |x2| = | 3|

|-1 4 -2 | |x3| | 1|

U:

| 1 2 1 |

| 0 -3 2 |

| 0 0 3 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

|-1 -2 1 |

 

 

Завдання № 7

 

|-2 2 -2 | |x1| |-2|

|-6 5 -5 | x |x2| = |-7|

| 6 -7 4 | |x3| | 2|

U:

|-2 2 -2 |

| 0 -1 1 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

| 3 1 0 |

|-3 1 1 |

 

Завдання № 8

 

|-1 2 -2 | |x1| |-1|

| 2 -8 6 | x |x2| = |-2|

|-3 -2 1 | |x3| |-5|

U:

|-1 2 -2 |

| 0 -4 2 |

| 0 0 3 |

L:

| 1 0 0 |

|-2 1 0 |

| 3 2 1 |

 

Завдання № 9

 

| 1 -2 -4 | |x1| |-9|

|-1 -1 2 | x |x2| = | 2|

|-2 -2 3 | |x3| | 2|

U:

| 1 -2 -4 |

| 0 -3 -2 |

| 0 0 -1 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

|-2 2 1 |

 

Завдання № 10

 

| 4 2 -3 | |x1| | 2|

|-4 -3 4 | x |x2| = |-2|

|-4 -4 3 | |x3| |-6|

U:

| 4 2 -3 |

| 0 -1 1 |

| 0 0 -2 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

|-1 2 1 |

 

Завдання № 11

 

|-1 -2 4 | |x1| | 1|

|-1 -6 2 | x |x2| = |-5|

| 1 -2 -4 | |x3| |-5|

U:

|-1 -2 4 |

| 0 -4 -2 |

| 0 0 2 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

|-1 1 1 |

 

Завдання № 12

 

| 2 -1 -2 | |x1| |-1|

| 2 -3 1 | x |x2| = | 0|

|-4 4 -2 | |x3| |-2|

U:

| 2 -1 -2 |

| 0 -2 3 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

|-2 -1 1 |

 

Завдання № 13

 

| 2 1 -4 | |x1| |-1|

| 4 -2 -7 | x |x2| = |-5|

| 2 5 -9 | |x3| |-2|

U:

| 2 1 -4 |

| 0 -4 1 |

| 0 0 -4 |

L:

| 1 0 0 |

| 2 1 0 |

| 1 -1 1 |

 

Завдання № 14

 

|-4 3 1 | |x1| |-4|

|-8 5 6 | x |x2| = |-5|

|-8 5 2 | |x3| |-9|

U:

|-4 3 1 |

| 0 -1 4 |

| 0 0 -4 |

L:

| 1 0 0 |

| 2 1 0 |

| 2 1 1 |

 

Завдання № 15

 

|-3 3 -4 | |x1| |-8|

| 3 -6 6 | x |x2| = | 9|

| 3 -9 4 | |x3| | 2|

U:

|-3 3 -4 |

| 0 -3 2 |

| 0 0 -4 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

|-1 2 1 |

 

Завдання № 16

 

| 2 4 -1 | |x1| | 4|

| 4 4 -3 | x |x2| = | 2|

|-6 4 5 | |x3| | 8|

U:

| 2 4 -1 |

| 0 -4 -1 |

| 0 0 -2 |

L:

| 1 0 0 |

| 2 1 0 |

|-3 -4 1 |

 

Завдання № 17

 

| 1 3 -2 | |x1| | 5|

| 3 5 -4 | x |x2| = | 9|

| 1 -1 3 | |x3| | 2|

U:

| 1 3 -2 |

| 0 -4 2 |

| 0 0 3 |

L:

| 1 0 0 |

| 3 1 0 |

| 1 1 1 |

 

Завдання № 18

 

|-2 1 1 | |x1| | 0|

| 4 -6 -4 | x |x2| = |-6|

|-8 8 7 | |x3| | 7|

U:

|-2 1 1 |

| 0 -4 -2 |

| 0 0 1 |

L:

| 1 0 0 |

|-2 1 0 |

| 4 -1 1 |

 

Завдання № 19

 

| 3 -4 3 | |x1| | 4|

|-3 1 1 | x |x2| = |-2|

| 6 1 -9 | |x3| |-4|

U:

| 3 -4 3 |

| 0 -3 4 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

| 2 -3 1 |

 

Завдання № 20

 

|-1 1 -1 | |x1| | 0|

| 1 -2 3 | x |x2| = | 0|

|-2 1 4 | |x3| | 4|

U:

|-1 1 -1 |

| 0 -1 2 |

| 0 0 4 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

| 2 1 1 |

 

Завдання № 21

 

| 2 -4 -3 | |x1| |-7|

| 2 -2 -4 | x |x2| = |-4|

| 4 -4 -5 | |x3| |-5|

U:

| 2 -4 -3 |

| 0 2 -1 |

| 0 0 3 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

| 2 2 1 |

 

Завдання № 22

 

| 3 -1 -2 | |x1| |-2|

|-6 1 2 | x |x2| = |-1|

|-9 5 6 | |x3| | 8|

U:

| 3 -1 -2 |

| 0 -1 -2 |

| 0 0 -4 |

L:

| 1 0 0 |

|-2 1 0 |

|-3 -2 1 |

 

Завдання № 23

 

|-4 -2 3 | |x1| |-3|

| 4 -1 -6 | x |x2| = |-3|

| 4 -1 -2 | |x3| | 1|

U:

|-4 -2 3 |

| 0 -3 -3 |

| 0 0 4 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

|-1 1 1 |

 

Завдання № 24

 

| 1 2 -2 | |x1| | 2|

| 2 8 -7 | x |x2| = | 5|

|-3 -2 6 | |x3| |-2|

U:

| 1 2 -2 |

| 0 4 -3 |

| 0 0 3 |

L:

| 1 0 0 |

| 2 1 0 |

|-3 1 1 |

 

Завдання № 25

 

|-2 4 -2 | |x1| |-2|

|-2 8 -5 | x |x2| = |-4|

| 8 -4 -5 | |x3| |-6|

U:

|-2 4 -2 |

| 0 4 -3 |

| 0 0 -4 |

L:

| 1 0 0 |

| 1 1 0 |

|-4 3 1 |

 

Завдання № 26

 

| 2 -2 -1 | |x1| |-1|

|-6 5 6 | x |x2| = | 5|

| 4 -3 -3 | |x3| |-2|

U:

| 2 -2 -1 |

| 0 -1 3 |

| 0 0 2 |

L:

| 1 0 0 |

|-3 1 0 |

| 2 -1 1 |

 

Завдання № 27

 

|-1 1 2 | |x1| | 5|

| 3 -2 -3 | x |x2| = |-7|

| 2 -1 1 | |x3| | 2|

U:

|-1 1 2 |

| 0 1 3 |

| 0 0 2 |

L:

| 1 0 0 |

|-3 1 0 |

|-2 1 1 |

 

Завдання № 28

 

|-3 2 1 | |x1| | 0|

|-9 3 2 | x |x2| = |-4|

| 9 -3 -4 | |x3| | 2|

U:

|-3 2 1 |

| 0 -3 -1 |

| 0 0 -2 |

L:

| 1 0 0 |

| 3 1 0 |

|-3 -1 1 |

 

Завдання № 29

 

|-2 -3 -3 | |x1| |-8|

| 2 2 -1 | x |x2| = | 3|

|-2 -2 -2 | |x3| |-6|

U:

|-2 -3 -3 |

| 0 -1 -4 |

| 0 0 -3 |

L:

| 1 0 0 |

|-1 1 0 |

| 1 -1 1 |

 

Завдання № 30

 

| 1 1 -1 | |x1| | 2|

|-3 -1 1 | x |x2| = |-4|

| 1 5 -3 | |x3| | 8|

U:

| 1 1 -1 |

| 0 2 -2 |

| 0 0 2 |

L:

| 1 0 0 |

|-3 1 0 |

| 1 2 1 |


Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гауса-Зейделя

Системи лінійних рівнянь за певних умов можна розв’язувати ітераційними методами. Для стрічкових матриць, елементи яких знаходяться майже виключно біля головної діагоналі, такий підхід може дати суттєвий виграш.

Розглянемо приклад – нехай ми маємо систему з наступними даними:

Виразимо з кожного рядка невідому xi, де і дорівнює індексу рядка, отримаємо:

x1 = (1 + 1*x2 + 1*x3 – 0*x4)/4

x2 = (2 + 1*x1 – 0*x3 + 1*x4)/4

x3 = (0 + 1*x1 – 0*x2 + 1*x4)/4

x4 = (1 – 0*x1 + 1*x2 + 1*x3)/4

Ми отримали ітераційні формули, тепер підставимо в них значення xi.

Для початку припустимо, що всі значення x рівні 0. ([0, 0, 0, 0]T).

Для x1 отримаємо ¼ = 0.25.

Для розрахунку x2 маємо оновлений вектор невідомих [0.25, 0, 0, 0]T, отже отримаємо x2= 0.5625.

Для x3 маємо [0.25, 0.5625, 0, 0]T, отримаємо x3=0.0625.

Для x4 маємо [0.25, 0.5625, 0.0625, 0]T, отримаємо x4=0.40625

Першу ітерацію виконано, тепер розрахунок повторюється спочатку.

Критерієм закінчення ітераційного процесу може бути близькість значень вектора x на сусідніх ітераціях.

Перед початком виконання ітераційного процесу необхідно пересвідчитися в тому, що ітераційна послідовність буде збігатися до розв’язку. Для цього добре підходить умова діагональної домінантності матриці А: якщо елементи головної діагоналі за модулем більші за суму модулів решти елементів рядків, в яких вони знаходяться, то ітераційний процес буде сходитися до розв’язку. У нашому прикладі на діагоналі знаходяться значення, які більші за решту значень в рядках: |4| > |1| + |1|.


 

Завдання: виконати одну ітерацію для знаходження розв'язку системи лінійних рівнянь методом Гауса-Зейделя

Нехай ми маємо систему:

 

Виразимо з кожного рівняння x1, x2, x3:

x1 = (3 – 1∙x2 – 2∙x3) / 6

x2 = (2 – 2∙x1 – 1∙x3 )/ 5

x3 = (3 – 2∙x1 – 1∙x2) / 6

 

Приймемо початкові значення вектора невідомих як |0; 0; 0|T

Тоді:

x1 = (3.0 – 1.0 ∙ 0.0 – 2.0 ∙ 0.0) / 6.0 = 0.50

x2 = (2.0 – 2.0 ∙ 0.5 – 1.0 ∙ 0.0) / 5.0 = 0.20

x3 = (3.0 – 2.0 ∙ 0.5 – 1.0 ∙ 0.2) / 6.0 = 0.30

1.2.2 Завдання для самостійної роботи

 

Виконайте розв’язок описаної вище задачі самостійно для наступних прикладів:



Завдання № 1

 

| 5 -1 2 | |x1| | 7|

| 3 -8 2 | x |x2| = |-9|

|-1 -4 6 | |x3| | 3|

 

Завдання № 2

 

| 4 1 2 | |x1| | 8|

| 3 -7 3 | x |x2| = |-8|

|-1 1 4 | |x3| | 5|

 

Завдання № 3

 

|-8 4 2 | |x1| |-2|

| 2 7 -4 | x |x2| = | 5|

| 1 -3 -5 | |x3| |-7|

 

Завдання № 4

 

|-8 -2 3 | |x1| |-7|

| 3 -8 -1 | x |x2| = |-6|

|-1 -3 5 | |x3| | 1|

 

Завдання № 5

 

|-5 2 1 | |x1| |-5|

| 3 -7 -1 | x |x2| = |-9|

| 2 -4 7 | |x3| | 3|

 

Завдання № 6

 

| 6 2 -2 | |x1| | 6|

| 1 -5 2 | x |x2| = |-2|

| 3 2 -8 | |x3| |-3|

 

Завдання № 7

 

| 8 -3 -1 | |x1| | 3|

|-1 -3 1 | x |x2| = |-2|

| 1 -1 -3 | |x3| |-6|

 

Завдання № 8

 

| 4 -1 2 | |x1| | 5|

|-3 6 -1 | x |x2| = | 2|

| 4 -1 -7 | |x3| |-4|

 

Завдання № 9

 

| 6 -1 -2 | |x1| | 9|

| 1 6 -4 | x |x2| = | 4|

| 1 -1 6 | |x3| | 7|

 

Завдання № 10

 

| 9 -4 3 | |x1| | 8|

| 1 -5 -3 | x |x2| = |-7|

| 3 1 -6 | |x3| |-2|

 

Завдання № 11

 

| 7 -3 -3 | |x1| | 1|

|-4 9 -4 | x |x2| = | 1|

|-4 -2 9 | |x3| | 3|

 

Завдання № 12

 

|-6 3 1 | |x1| |-2|

|-2 7 1 | x |x2| = | 6|

|-1 3 -6 | |x3| |-4|

 

Завдання № 13

 

| 6 -1 1 | |x1| | 7|

| 1 3 -1 | x |x2| = | 2|

|-1 -3 5 | |x3| | 6|

 

Завдання № 14

 

| 7 -2 -4 | |x1| | 1|

| 4 -7 -2 | x |x2| = |-5|

| 2 2 5 | |x3| | 9|

 

Завдання № 15

 

|-5 3 -1 | |x1| | 0|

| 2 -5 -1 | x |x2| = |-9|

| 3 -1 6 | |x3| | 7|

 

Завдання № 16

 

| 3 1 -1 | |x1| | 3|

| 4 -7 1 | x |x2| = |-8|

|-2 -2 7 | |x3| | 8|

 

Завдання № 17

 

|-9 -3 3 | |x1| |-9|

| 2 -7 -3 | x |x2| = |-8|

| 3 -4 -8 | |x3| |-9|

 

Завдання № 18

 

| 6 -3 -1 | |x1| |-1|

| 4 -6 -1 | x |x2| = |-9|

|-1 2 6 | |x3| | 9|

 

Завдання № 19

 

|-6 -1 -2 | |x1| |-9|

| 2 -7 -1 | x |x2| = |-6|

|-3 -3 7 | |x3| | 1|

 

Завдання № 20

 

|-6 -1 2 | |x1| |-5|

|-1 6 -4 | x |x2| = | 1|

| 1 -2 4 | |x3| | 3|

 

Завдання № 21

 

| 7 -1 -4 | |x1| | 5|

|-1 5 -1 | x |x2| = | 1|

| 1 4 -6 | |x3| |-6|

 

Завдання № 22

 

|-3 1 -1 | |x1| |-3|

|-1 -6 2 | x |x2| = |-5|

| 3 -3 -8 | |x3| |-8|

 

Завдання № 23

 

|-6 -1 4 | |x1| |-5|

| 1 -8 3 | x |x2| = | 0|

| 1 1 -6 | |x3| |-9|

 

Завдання № 24

 

| 9 -3 -4 | |x1| | 7|

|-1 -7 3 | x |x2| = |-3|

|-1 -4 7 | |x3| | 8|

 

Завдання № 25

 

| 6 -4 1 | |x1| | 9|

| 1 7 -3 | x |x2| = | 6|

| 4 -1 -9 | |x3| |-2|

 

Завдання № 26

 

|-7 -2 1 | |x1| |-8|

| 2 6 -3 | x |x2| = | 5|

| 2 2 -7 | |x3| |-3|

 

Завдання № 27

 

| 9 -4 4 | |x1| | 9|

|-1 7 2 | x |x2| = | 8|

|-2 1 -7 | |x3| |-8|

 

Завдання № 28

 

|-5 2 -2 | |x1| |-3|

|-1 4 -2 | x |x2| = | 5|

| 4 2 -7 | |x3| | 1|

 

Завдання № 29

 

|-3 1 1 | |x1| |-1|

| 1 6 -1 | x |x2| = | 6|

| 3 -1 -8 | |x3| |-6|

 

Завдання № 30

 

|-7 -2 4 | |x1| |-7|

|-4 6 1 | x |x2| = | 9|

|-3 3 -8 | |x3| |-5|



Розділ 2. Розв’язок нелінійних рівнянь







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.122.219 (0.088 с.)