Стратегии, оптимальные во множестве чистых стратегий. Полное (общее) и частное решение игры в чистых стратегиях.

 

СтратегииA_i0 и B_j0игроков А и В, создающие равновесную ситуацию (A_i0, B_j0), или, другими словами, соответствующие седловой точке a_i0j0, называются оптимальными. Стратегия является оптимальной во множестве чистых стратегий, если показатель ее эффективности равен цене игры в чистых стратегиях. S^co_Aи S^co_B– множества чистых оптимальных стратегий соответственно игроков А и В.

Если нижняя цена игры α равна верхней цене игры β, то их общее значение γ=α=β называется ценой игры в чистых стратегиях.

Совокупность {S^co_A, S^co_B, γ} множеств S^co_Bи S^co_A чистых оптимальных стратегий игроков А и В и цены игры γ называется полным (общим) решением игры в чистых стратегиях, а совокупностькакой-нибудь пары чистых оптимальных стратегий A_i0 и B_j0 и цены игры γ называется частным решением игры в чистых стратегиях.

Решение игры характеризуется тем свойством, что ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий, невыгодно от нее отклонится, поскольку в этом случае он не увеличит своего выигрыша.

 

1. Соотношения между множествами оптимальных, максиминных и минимаксных стратегий. Доказательство.

Соотношения между множествами оптимальных стратегий каждого игрока, с одной стороны, и множествами максиминных стратегий игрока А и минимаксных стратегий игрока В, с другой стороны, устанавливаются следующей теоремой.

Теорема: справедливы следующие утверждения.

1. Каждая оптимальная стратегия игрока А является его максиминной стратегией, а каждая оптимальная стратегия игрока В является его минимаксной стратегией.

2. В игре без седловых точек ни одна из максиминных и минимаксных стратегий не является оптимальной, поскольку в этой игре вообще нет оптимальных чистых стратегий.

3. В игре с седловыми точками каждая максиминная и каждая минимаксная стратегии соответственно игроков А и В являются оптимальными.

Другими словами, в игре с седловыми точками множество оптимальных стратегий игрока А совпадает с множеством его максиминных стратегий: S^co_A=S_A^maxmin, а множество оптимальных стратегий игрока В совпадает со множеством его минимаксных стратегий: S^co_B=S_B^minmax. В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет: S^co_A=S^co_B=Ø, хотя максиминные стратегии игрока А и минимаксные стратегии игрока В всегда существуют: S_A^maxmin≠Ø, S_B^minmax≠Ø.

Доказательство: Докажем утверждение 1. Пусть A_i0 и B_j0 – оптимальные стратегии соответственно игроков А и В. Тогда по определению оптимальных стратегий a_i0j0 – седловая точка. Но тогда справедливо неравенство α≥α_i0= a_i0j0=β_j0≥β, т.е. α≥β, установленное в доказательстве достаточности теоремы о существовании цены игры в чистых стратегиях. Из этого неравенства и неравенства α≤β следуют два равенства α=α_i0 и β=β_j0, первое из которых означает, что стратегия A_i0 – максиминная, а второе, - что стратегия B_j0– минимаксная.

Утверждение 2 очевидно в силу того, что для существования цены игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры α равнялась верхней цене игры β, необходимо и достаточно существование у матрицы седловой точки. Если же в игре нет седловых точек, это означает, что данная игра не имеет решения в чистых стратегиях, а значит, среди максиминных стратегий игрока А и минимаксных стратегий игрока В не может быть оптимальной чистой стратегии.

Докажем утверждение 3. Пусть a_i0j0 – седловая точка, A_i1 – максиминная стратегия игрока А, B_j1 – минимаксная стратегия игрока В.

Из максиминности стратегии A_i1: (стратегия A_i1, соответствующая максимину α, т.е. стратегия, номер i₁ которой максимизирует показатель эффективности α_i, т.е. α=α_i1 называется максиминной) α=α_i1.

Из минимаксности стратегии B_j1: (стратегия B_j1, для которой β=β_j1называется минимаксной стратегией игрока В) β=β_j1.

Тогда α=α_j1=mina_i1j≤a_i1j1≤maxa_ij1= β_j1=β

_{1≤J≤n 1≤i≤m}

 

Но так как существует седловая точка a_i0j0, то по теореме о необходимом и достаточном условии существования цены игры в чистых стратегиях имеет место равенство α=β с учетом которого из выведенного выше неравенства получаем

α=a_i1j1=β. А это означает, что a_i1j1 – седловая точка, и, следовательно, стратегии A_i1 и B_j1 – оптимальные.