Игра – математическая модель антогонистической ситуации

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Раздел теории исследований операций, занимающейся математическими моделями принятия оптимальных решений в условиях конфликта, называется теорией игр.

Заинтересованные стороны в игре называются игроками. Любое возможное в игре действие игрока называется его чистой стратегией.

Игра называется конечной, если множество стратегий каждого игрока конечно.

Чаще степень удовлетворения интересов игрока А характеризуется его функцией выигрыша , определенной на множестве всех ситуаций и ставящий в соответствие каждой ситуации некоторое число , называемое выигрышем игрока А в ситуации x.

Аналогично, для игрока В функция выигрыша определена на множестве ситуаций и каждый из них ставит в соответствие число , называемое выигрышем игрока В в ситуации y.

Основной целью теории игр является выработка рекомендаций для удовлетворительного поведения игроков в конфликте, то есть выявления для каждого из них «оптимальных стратегий».

Оптимальной называется стратегия, которая при многократно повторяющейся игре гарантирует игроку максимально возможный средний выигрыш (или эквивалентно минимальный возможный средний проигрыш). Выбор оптимальной стратегии базируется на принципе, предполагающем, что оба игрока разумны в одинаковой степени и поведение каждого из них направлено на противодействие противнику в достижении его цели. Таким образом, теория игр абстрагируется от ошибок, просчетов, азарта и риска, присущих игрокам в реальных случаях.

Если в парной игре игроки преследуют противоположные цели, то игра называется антагонистической. В такой игре один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Поэтому, функции выигрышей соответственно игроков А и В связаны между собой соотношением Из этого равенства следует, что и потому антагонистические игры называют играми двух сторон с нулевой суммой выигрыша.

В силу равенства функция выигрыша игрока В полностью определяется функцией выигрыша игрока А и, следовательно, антагонистическая игра с игроками А и В определяется совокупностью , состоящей из множества чистых стратегий игрока А, множества чистых стратегий игрока В и функции выигрыша игрока А.

В конечной антагонистической игре с игроками А и В можно строки некоторой матрицы поставить в соответствие стратегиям игрока А, а столбцы – в соответствие стратегиям игрока В. Если на пересечениях строк и столбцов расставить значения функции выигрыша игрока А, соответствующие ситуации , то получим матрицу А, которая называется матрицей выигрышей игрока А.

Аналогичным образом, из значений функции выигрыша игрока В, можно составить матрицу В выигрышей игрока В. В силу равенства . Таким образом, матрица В определяется матрицей А и потому конечная антагонистическая игра характеризуется фактически только одной матрицей выигрышей и в силу этого называется матричной.