ТОП 10:

Трехзначная система Лукасевича



Трехзначная пропозициональная логика (логика высказываний) была построена в 1920 г. польским математиком и логиком ЯЛукасевичем (1878-1956)1. В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» — У2. В качестве основных функций взяты отрицание (Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция (Юсу) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (таб­лицами) так:

Импликация Лукасевича

 

Г^^^-_/ '/2
'/2
'/2 '/,

Отрицание Лукасевича

 

X nx
}
'/2 V,

[Nx] = \-[x]

Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [Кху] = min ( [х], [у]); дизъюнкция — как максимум значений х = тах.([х],[у]).

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ...

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в фор­ме х -> у, происходит так. Слева в первой колонке написаны значений для х, а сверху — значения для у. Возьмем, например [х] = '/2 (т-е- значение для х, равное 1/2), а [у] = О, получаем импликацию '/2 н> 0. На пересечении по­лучаем результат '/2.

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае фор­мулы a v и, то таблица истинности для этой формулы, включающая все воз­можные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее пе­ременной в таблице, будет состоять из З1 = 3 строки; при двух переменных в таблице будет У = 9 строк; при трех переменных в таблице имеем З3 = 27 строк; при п переменных будет 3" строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a v a (закон ис­ключенного третьего) и для алй (закон непротиворечия), содержащих од­ну переменную, т.е. а. В таблице будет всего З1 = 3 строки.

 

а я a v a ала ала
0
'/2 V, '/2 V, ]/г

Для доказательства формулы а у а используем знание о том, что дизъ­юнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей a v a , видим, что вместе со значениями 1 есть значение '/2. Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Фор­мула а ли также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула -> (у л у)) -»х, содержащая две переменные х и у. В таблице будет З2 = 9 строк. Распределе­ние значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение нео­пределенности (т.е. У2), то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключен­ного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является

ЛОГИКА

отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являют­ся: правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а —> b = b —> S. Не являются тавтологиями прави­ла приведения к абсурду двузначной логики; -> х) -> х и (х -»л у)) -> х (т.е. если из х вытекает противоречие, то-из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).

Таблица 3

X у х У .улу дг — > (у л у) -> (У л у)) -> х
'/2 '/2 '/2 '/2 '/2
'/2 '/2 '/2
'/2 '/2 '/2 '/2 '/2 V,
'/2 '/2
'/2 '/2 '/2

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной
логике, ибо если отбросить значение 72, то в логике Лукасевича и в дву­
значной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импли­
кации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасеви­
ча имеется третье значение истинности — 1/2, то не все тавтологии двузнач­
ной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича. , ,

Трехзначная система Гейтинга

Импликация Гейтинга

 

^^^^----J '/2
'/2
'/2

Отрицание Гейтинга

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1 х; 2) х -»х Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, ни­дерландский логик и математик А. Рейтинг (1898-1980) разработал трехзнач­ную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. «Истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «неопределенность» —

У2. Тавтология принимает значение 1.

 

X nx
V,

Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как ми­нимум и максимум значений аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гей­тинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логи­ке закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных мо­дуса условно-категорического силлогизма, формула (х -»у) -> -»х), пра­вила де Моргана и закон исключенного четвертого (х v х ух) — тавтологии.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и им­пликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие измене­ния, результаты оказались значительными: в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления вы­сказываний.

m-значная система Поста тГ

Система американского математика и логика Э.Л. Поста (1897-1954) яв­ляется обобщением двузначной логики, ибо при т = 1 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1,2,..., т (при т > 2), где т — конечное число. Тавтологией является формула, ко­торая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т — 1, включая их самих.

Пост вводит два виа отрицания (№х и N2x), соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посред­ством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

[N'x] = [х] + 1 при [х] < т — 1. -.— -.:.-..

[N'm} = \.

Второе отрицание определяется одним равенством: \ [№х] = т-[х] + 1.

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобще­ние двузначной логики.

 

X N'x tfx
2 т
т- 1
Л1-2
m-3
     
     
     
т- 1 т
т

Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах
форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, боль­шем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отри­цание этих законов не являются тавтологиями.

 

р ~зр ~зр
2
Пояснения Первое отрицание Второе отрицание

 

 

nx\ p ч ^\ р-зС/ P V3q />2з? Р = зЧ
Пояснения max (p, q) rain (p, q) (-3/>)v3<? (р2э?)л,(<7Эз.р)

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 «истина» и 3 «ложь», то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъ­юнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для перво­го отрицания.







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.206.48.142 (0.006 с.)