Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Трехзначная система ЛукасевичаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Трехзначная пропозициональная логика (логика высказываний) была построена в 1920 г. польским математиком и логиком ЯЛукасевичем (1878-1956)1. В ней «истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «нейтрально» — У2. В качестве основных функций взяты отрицание (Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция (Юсу) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1. Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (таблицами) так: Импликация Лукасевича
Отрицание Лукасевича
[Nx] = \-[x] Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [Кху] = min ([х], [у]); дизъюнкция — как максимум значений х = тах.([х],[у]). Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ... Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в форме х -> у, происходит так. Слева в первой колонке написаны значений для х, а сверху — значения для у. Возьмем, например [х] = '/2 (т-е- значение для х, равное 1/2), а [у] = О, получаем импликацию '/2 н> 0. На пересечении получаем результат '/2. Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a v и, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из З1 = 3 строки; при двух переменных в таблице будет У = 9 строк; при трех переменных в таблице имеем З3 = 27 строк; при п переменных будет 3" строк. Покажем, как происходит доказательство для формул a v a (закон исключенного третьего) и для алй (закон непротиворечия), содержащих одну переменную, т.е. а. В таблице будет всего З1 = 3 строки.
Для доказательства формулы а у а используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей a v a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение '/2. Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула а ли также не является законом логики. Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х -> (у л у)) -»х, содержащая две переменные х и у. В таблице будет З2 = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках. Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение неопределенности (т.е. У2), то данная формула не является законом логики. На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является ЛОГИКА отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а — > b = b —> S. Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х -> х) -> х и (х -» (у л у)) -> х (т.е. если из х вытекает противоречие, то-из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3). Таблица 3
В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией. Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной Трехзначная система Гейтинга Импликация Гейтинга
Отрицание Гейтинга В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1 )х -» х; 2) х -»х Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, нидерландский логик и математик А. Рейтинг (1898-1980) разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. «Истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «неопределенность» — У2. Тавтология принимает значение 1.
Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значений аргументов. Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х -» у) -> (у -»х), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (х v х ух) — тавтологии. Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний. m-значная система Поста (РтГ Система американского математика и логика Э.Л. Поста (1897-1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 1 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1,2,..., т (при т > 2), где т — конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т — 1, включая их самих. Пост вводит два виа отрицания (№х и N2x), соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств. Первое отрицание определяется двумя равенствами: [N'x] = [х] + 1 при [х] < т — 1. -.— -.:.-.. [N'm} = \. Второе отрицание определяется одним равенством: \ [№х] = т-[х] + 1. Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.
Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах
Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 «истина» и 3 «ложь», то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики. В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 466; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.152.146 (0.009 с.) |