Конструктивная логика А.А.Маркова

Проблема конструктивного понимания логических связок, в частности отрицания и импликации, требует применения в логике специальных точ­ных формальных языков. В основе конструктивной математической логи­ки А.А.Маркова (1903-1979) лежит идея ступенчатого построения формаль­ных языков. Сначала вводится формальный язык Я₀, в котором предложе­ния выражаются по определенным правилам в виде формул; в нем имеется

определение смысла выражения этого языка, т.е. семантика. Правила вы­вода позволяют, исходя из верных предложений, всегда получать верные предложения.

В конструктивной математике формулируются теоремы существования, утверждающие, что существует объект, удовлетворяющий таким-то требо­ваниям. Под этим подразумевается, что построение такого объекта потен­циально осуществимо, т.е. что мы владеем способом его построения. Это конструктивное понимание высказываний о существовании отличается от классического. В конструктивной математике и логике иной является и трактовка дизъюнкции, которая понимается как осуществимость указа­ния ее верного члена. «Осуществимость» означает потенциальную осуще­ствимость конструктивного процесса, дающего в результате один из членов дизъюнкции, который должен быть истинным. Классическое же понима­ние дизъюнкции не предполагает нахождения ее истинного члена.

Новое понимание логических связок требует новой логики. Мы считаем утверждение А.А. Маркова о неединственности логики верным и весьма глубоким: «В самой идее неединственности логики, разумеется, нет ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны управляться одними и теми же законами? Для этого нет никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы, если бы логика была единственна»'.

В конструктивную математическую логику А.А. Марков вводит понятие «разрешимое высказывание» и связанное с ним понятие «прямое отрицание». В логике А.А. Маркова имеется и другой вид отрицания — усиленное отрица­ние, относящееся к так называемым полуразрешимым высказываниям.

Кроме материальной и усиленной импликации, при становлении истин­ности которых приходится заботиться об истинности посылки и заключе­ния, А.А.Марков вводит дедуктивную импликацию, определяемую по дру­гому принципу. Дедуктивная импликация «если А, то В» выражает возмож­ность выведения В из А по фиксированным правилам, каждое из которых в применении к верным формулам дает верные формулы. Всякое высказы­вание, выводимое из истинного высказывания, будет истинным.

Через дедуктивную импликацию А.А. Марков определяет редукционное отрицание (reductio ad absurdum). Редукционное отрицание высказывания А (сформулированного в данном языке) понимается как дедуктивная им-

пликация «если А, то Л», где через./7обозначен абсурд. Это определение от­рицания соответствует обычной практике рассуждений математика: мате­матик отрицает то, что можно привести к абсурду. Для установления истин­ности редукционного отрицания высказывания не требуется вникать в его смысл. Высказывание, для которого установлена истинность редукционно­го отрицания, не может быть истинным.

Эти три различных понимания отрицания не вступают в конфликт друг с другом, они согласованы, что, по мнению А.А. Маркова, даст возмож­ность объединить все эти понимания отрицания.

Показательно такое обстоятельство. А.А. Марков строит свои конструк­тивные логические системы для обоснования конструктивной математики таким образом, что у него получается не одна законченная система, а целая иерархия систем. Это система языков Я₀, Я,, Я₂, Я₃, Я₄, Я₅,..., Я_п (где п — на­туральное число) и объемлющего их языка Я_ю; после Я_м строится язык Я^¹.

Итак, мы склонны думать, что развивающуюся конструктивную логику и математику невозможно вместить в одно формальное исчисление, для этого нужна система, состоящая из целой иерархии систем, в которой будет иерархия отрицаний.

Проблемами конструктивной логики и теории алгоритмов занимается также математик Н.М.Нагорный.

Многозначные логики

В многозначных логиках число значений истинности аргументов и функ­ций для высказываний может быть любым конечным (больше двух) и даже бесконечным. В настоящем параграфе используются так называемая поль­ская запись, которую применял Лукасевич, и обычная, применяемая в дву­значной логике: отрицание обозначается через nx илих, конъюнкция — че­рез Кху или х л у, нестрогая дизъюнкция — через Аху или х v у, материаль­ная импликация — через Сху или х -> у. Значение функции от аргумента а записывается так: [а]. Тавтологией (или общезначимой, или законом логи­ки, или тождественно-истинной) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает выделенное (или отмеченное) значение; как правило, это значение «истина» (чаще все­го в рассматриваемых системах «истина» обозначается цифрой 1).

Развитие многозначных логик подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-на­учных знаний: то, что является тождественно-истинным в одной логичес­кой системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.