Механика и экономика. Некоторые замечания.

Как известно, методы механики применимы к системам, в которых на фоне изменяющейся ситуации минимизируется или максимизируется некоторая функция (например, энергия или энтропия). Как было замечено, «единство природы выражается в удивительной похожести дифференци­альных уравнений, описывающих совершенно разные по своей природе процессы». Существуют примеры аналогии между механическими, термо­динамическими и экономическими объектами. Особое значение «метод аналогий» имеет при математическом моделировании трудноформализуемых объектов. К таким объектам относятся и экономические системы.

Следует подчеркнуть, что математические модели трудноформализуемых объектов содержат в себе плохо или не полностью известные пове­денческие характеристики живых существ. Поэтому к ним нельзя предъяв­лять требования адекватности и точности, характерные для моделирования проблем техники. Однако и в этой сфере анализа прогноз и принятие ре­шений в немалой мере основаны на использовании каких-то моделей и ме­тодов моделирования (пусть часто и примитивных).

Механико-экономические аналогии имеют место не только для об­щих формулировок проблем, но и для многих содержательных конкретных понятий (сила - предельная прибыль, реакция связей - предельные из­держки и т.д.).

Одна из возможных механико-экономических аналогий - аналогия между равновесием материальной частицы в потенциальном поле внешних сил и выбором оптимального плана производства.

Небольшой иллюстративный пример [8.1]. Многие технические кон­струкции (системы) могут быть описаны с помощью потенциальной функ­ции, минимальное значение которой определяет локальное устойчивое со­стояние конструкции. Само состояние описывается положением точки в некотором пространстве состояний конструкции.

Вводиться понятие потенциала. Потенциал Р - (от латинского слова potentia - сила) это возможности, средства, запасы, которые могут быть приведены в действие, использованы для решения какой-либо задачи, дос­тижения определенной цели. С физической точки зрения - это понятие, ха­рактеризующее широкий класс силовых полей (электрических, гравитаци­онных и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векто-рами (поля скоростей и т.п.). Пусть единичная масса (точка на рисунке 116) находиться в поле силы тяжести и может занимать любое положение в про­странстве, ограниченном снизу твердой поверхностью, уравнение которой

y`(х) 0,

где х, у - координаты частицы. Расстояние частицы от оси у

у у'(х), 0 х х'

Рис. 116

Поле силы тяжести потенциально, т.е. существует функция (потен­циал) Р(х, у), такая, что компоненты ее градиента определяют внешнюю

силу, действующую на материальную частицу. Следовательно, потенциал дается формулой

P=-qy,

в которой опущена несущественная аддитивная постоянная. Изменение по­тенциала при перемещении частицы в поле силы тяжести равно работе А, совершаемой этой силой и определяется начальным и конечным положе­ниями частицы (только координатой у)

А= = P(y₂)-(y₁).

Точка х*, у* называется ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ, если час­тица помещается в нее и, имея нулевую скорость, остается в ней любое время (при наложенных связях и внешней силе).

Потенциал в точке равновесия достигает экстремального значения. На рисунке равновесными являются точки минимума функции у'(х) (в них

сила тяжести уравновешивается реакцией опоры). Любое возможное, не противоречащее связям, малое перемещение частицы из этих точек приво­дит к тому, что над нею будет совершена работа, и потенциал уменьшить­ся.

Итак, поиск устойчивого положения равновесия сводиться к реше­нию задачи

Р(х, у) ->тах при у≥ у'(х), 0≤х≤х' (*)

Этот закон покоя (закон Мопертюи) аналогичным образом формулируется и для более общих механических систем.

Если, например, на частицу действуют, кроме силы тяжести, другие потенциальные силы, то точки равновесия не обязаны совпадать с точками минимума функции у'(х).

В экономической интерпретации эта задача называется задачей НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ и часто возникает при планировании производства.

Пусть предприятие выпускает продукцию (кирпичи), объем которой обозначим х, 0 ≤ х ≤ х`. Для производства предприятию необходимо затра­тить некоторый ресурс (например, глину), остаток которого после выпол­нения плана обозначим у (начальный ресурс равен у^o исчитается незави­симым от величины плана х). Известно, что производство происходит при некоторых ресурсных ограничениях сверху, т.е.

у^o ≤ у ≤ у'(х), 0 ≤ х ≤ х'.

у'(х) - минимальное количество неиспользованных ресурсов, которое

предприятие по технологическим, финансовым или иным причинам обяза­но иметь в своем распоряжении после выполнения плана х.

В упрощенной постановке прибыль Р(х, у) равна разности между

стоимостью продукции F-х и стоимостью затраченных ресурсов q (y-y°):

P(x,y) = F·x+(у^o – y)q, (**)

где F,q - цены единицы продукции и ресурса соответственно (остальные затраты будем считать несущественными).

Задача планирования производства состоит в том, чтобы выбрать план х*, выполнение которого дает максимальную прибыль при внутрен­них ограничениях:

Р(х, у)→тах при у°<у, 0 ≤ х ≤ х' (***)

Формулировки, подобные (***), справедливы для весьма общих задач пла­нирования.

Для получения более полной аналогии можно ввести дополнительно к силе тяжести потенциальную внешнюю силу F, действующую на части­цу в направлении оси х. Тогда потенциал будет:

P(x,y) = Fx + qy,

т.е. почти совпадает с (**).

Итак задачи (**) и (***) аналогичны и имеют совпадающие решения х* и у*.

На оптимальном плане х*,у* максимального значения достигает не только экономический аналог потенциала - прибыль, но также энтропия. Энтропия - от греческого слова entropia - поворот, превращение. Стати­стическая физика рассматривает энтропию как меру вероятности пребыва­ния системы в данном состоянии. Неравновесные процессы в изолирован­ной системе сопровождаются ростом энтропии и приближают систему к состоянию равновесия, в котором энтропия максимальна.

Для некоторого произвольного неоптимального плана (х,у)≠(х*,у*)

рассмотрим окрестность е всех соседних планов (х,у). Т.е. выполнено ус­ловие | -х|< ε, | |< ε. Поскольку план (х,у) не оптимален, то в его ε -окрестности всегда существует непустое множество планов, которые: либо не удовлетворяют ресурсным ограничениям (область А и В), либо не имеют преимущества по прибыли в сравнении с планом (х, у) (область С), либо

обладают обоими этими свойствами.

Это означает, что в окрестности точки (х,у) можно провести частич­ное упорядочение планов относительно друг друга, т.к. известна процедура предпочтения одних планов другим.

Очевидно, объем «плохих» планов меньше объема е - окрестности:

V(х*,у*,ε)<V_ε

Если ε - окрестность оптимального плана (х*,у*), то все планы этой облас­ти менее предпочтительны по отношению к (х*,у*). В этом случае объем

«плохих» планов равен объему всей s - окрестности:

Можно ввести функцию

E(x,y,s) =

которая служит мерой упорядоченности данной системы. Чем «ближе» точка х, у к оптимальному состоянию (х*,у*), тем больше значение функ­ции Е.

Очевидно, что Е< 1при всех (х, у) ≠ (х*,у*} и достигает своего макси­мума Е = 1в точке (х*,у*). Она и является экономическим аналогом энтро­пии в рассматриваемой задаче.

Также как и механические аналоги, термодинамические аналогии справедливы для многих весьма общих экономических систем и применя­ются при их исследовании.

С этих позиций можно рассмотреть организацию рекламной кампа­нии, взаимозачет долгов предприятий, макромодель экономического роста, некоторые модели соперничества (отношения в системе «хищник-жертва», гонка вооружений, динамика распределения власти в иерархии, правовая система «власть - общество» (стационарные распределения и выход власти за рамки полномочий), процессы в переходной экономике и др.).

Математические модели экономики разрабатываются давно, и про­цесс этот активно продолжается и поныне.

Еще несколько замечаний. Прежде всего, момент, на который еще раз хотелось бы обратить внимание. Это определенная опасность опериро­вания усредненными величинами. В ряде случаев использование осредненных значений не позволяет сделать надежное заключение. Они вуалируют ситуацию, пряча возможные опасности.

Как мы уже знаем, особенно четко это было видно при рассмотрении явления ползучести материалов. Опора на средние величины может при­вести к неверным оценкам надежности конструкции.

To же имеет место и в экономике. Средние величины и здесь могут увести от существа дела. Как в известном анекдоте о положении дел в больнице. Средняя температура по всем больным 36,6°, но половина из них имеет 30° (т.е. они свели счеты с нашим бренным миром и остывают), дру­гая половина больных с температурой 43° безнадежна. Так же может об­стоять дело и, например, со средней зарплатой.

Примером решения экономических задач методами механики может оказаться возможность построить аналогию «ползучесть материалов-зарплата», рассматривая зарплату сотрудников предприятия(организации),как аналог суммарной деформации ползучести (или скорости ее нараста­ния).

Как «средняя» кривая нарастания деформации ползучести не может гарантировать надежную работу конструкции, так и осредненная по орга­низации зарплата еще ничего не говорит о ее устойчивой производитель­ной работе.

Если в каких-то элементах предприятия (структурных подразделени­ях) зарплата будет существенно отличаться от «среднего» значения, то си­туация в организации может выйти из состояния «рабочего» равновесия и система окажется неработоспособной, быстро приближаясь к «катастро­фе».

Кстати можно отметить, что многие аналитики считают, что среди причин снижения роста производительности труда (а, как известно, произ­водительность есть главный показатель экономического благополучия), не последними являются чрезмерное число управляющих и слишком высокие оклады руководителей.

Таким образом, как и в ползучести, существенным моментом, под­лежащим тщательному изучению, является определение допустимой ши­рины полосы разброса по зарплате.

Конечно, построение надежной полосы разброса с хорошей довери­тельной вероятностью потребует обстоятельного достоверного статистиче­ского анализа деятельности разных, как внутриотраслевых, так и внеотраслевых, предприятий.

Приводимая аналогия с разбросом данных по ползучести материалов носит чисто формальный характер, природа явлений разная. Но, тем не ме­нее, подходы к анализу разброса данных в конкретных ситуациях подобны и могут позволить вскрыть действительное положение дел.

И еще. Нельзя в экспериментах лабораторных или мысленных ис­черпать многообразие работы элементов конструкций или систем. Нужна теория, позволяющая из простых экспериментов предсказать, хотя бы в первом приближении, поведение системы, подвергнутой иному, чем в ус­ловиях опыта, воздействию. Для этого, как неоднократно подчеркивалось, удобно построить модель.

Конечно, не всегда процессы, сущность которых мы, как следует, еще не знаем, можно моделировать, с надеждой на успех, механическими схемами. Но моделирование удобно уже тем, что даже в случаях, когда по лучение количественных результатов затруднено, мы имеем возможность получить суждение о качественной стороне процесса и о влиянии на него различных параметров. Таким образом, естественно приходим к мысли функционального моделирования.

Моделирование - это форма предварительного истолкования явле­ния. Сейчас наряду с субстратно-атрибутивным приобретает все большую роль функциональное описание не в терминах внутренних причинных за­висимостей, а в терминах внешних функциональных связей управления. Хотя при таком подходе внутренние механизмы процесса могут оказаться еще скрытыми от нас, тем не менее мы можем получить вполне надежную картину внешних функциональных связей системы и среды. А, как извест­но, именно функциональные связи системы и среды весьма важны для процессов управления. Такой подход позволяет описывать системы, весьма далекие по внутреннему субстрату, с помощью обобщенной модели двух­мерного вектора, одна составляющая которого характеризуется параметра­ми «входа» системы, а вторая параметрами «выхода»

"Выход" = F("Вход")

Основой такого подхода являются:

- во-первых, признание объективности, независимости от сознания субъекта, внешних функциональных связей;

- во-вторых, что внутренние причинные механизмы, которые сегодня нам еще могут быть неизвестны и от которых мы сегодня вынуждены от­носительно отвлекаться, существуют объективно и будут познаны завтра.

Типичной экономической моделью является формирование бюджета предприятия, организации, страны. Базовую основу модели должны делать управленцы - инженеры, обладающие боль­шими знаниями, эрудициeй иглубоким перспективным мышлением. Экономическое обеспечение модели должны затем сделать эко­номисты. Но если бюджет нормируют"чистые"экономисты, руковод­ствующиеся только "бухгалтерскими" навыками, то модель мо­жет оказаться не работоспособной.

В заключение еще несколько слов о механико-экономическом аспек­те.

Организация управления (иерархия) не может использоваться без учета многих ее потенциальных недостатков, одним из которых является растущая тенденция увеличения некомпетенции руководства в таких сис­темах (принцип Питера) и др.

Управленческая лестница должна быть короткой. Большинство про­межуточных ступеней к производственной деятельности (предприятия) от­ношения не имеют, они живут в собственном «замкнутом подмире» (под­системе) и обслуживают самих себя, создавая внутренние напряжения в работе организации, так же как и «избыточные» связи в статически неоп­ределимых механических системах. Любой элемент конструкции, отли­чающийся от окружающих его элементов своими «жесткостными» свойст­вами, вызывает концентрацию напряжений и может быть опасен.

Также следует иметь в виду, что при математическом моделировании трудноформализуемых объектов «теоретики слишком часто бывают увле­чены элегантностью своих методов и не заботятся в достаточной мере о соответствии исходных предположений действительности, получая в результате правильные ответы нереальных задач».

И еще несколько слов о некорректности задач экономики. Некор­ректно поставленные задачи близко примыкают к теории катастроф [8.2].

Как отмечал А.Н. Тихонов [8.3], «среди математических задач выде­ляется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые из­менения исходных данных могут приводить к произвольно большим изме­нениями решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными».

Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Если исходные данные известны приблизительно (во многих экономических за­дачах они задаются с мало достоверной вероятностью), то упомянутая не­устойчивость приводит к практической неединственности решения в рам­ках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла полу­чаемого приближения.

К числу важных задач этой категории относятся задачи создания сис­тем автоматической математической обработки результатов экспериментов (включая интерпретацию), задачи оптимального проектирования систем.

Исходные данные некорректно поставленных задач обычно содержат и случайные погрешности. Поэтому при построении решений (приближен­ных решений) и при оценке их погрешности, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

Пусть z₁ - количество выпускаемых изделий i -го наименования,

1 <i<n, а ₁- максимально возможное число изделий i -го наименования, C ₁

- суммарная трудоемкость для i -го изделия по всем основным группам оборудования (по всем технологическим переходам). Тогда скалярное про­изведение Y ₁ (z) = (C, z) векторов С = {С ₁ ,С₂,...,С_n} и z = {z ₁ ,z₂,...,z_n} характери­зует загрузку оборудования при плане z выпуска изделий. Пусть b ₁- фонды времени j-й группы оборудования, 1≤ j ≤т, а_ij - трудоемкость для i- гo из­делия на j-й группе оборудования. Обозначим через G множество векторов z (планов), удовлетворяющих условиям: b - A(z)≥0, 0≤ z≤ a, где а и b -

векторы b - {b₁,b₂,..., b_п}, а = {а₁, а₂,..., а_п}, А = { а_ij } - матрица с элементами а_ij Задача определения оптимального плана может состоять в нахож­дении такого вектора из множества векторов (планов) G, для которого загрузка оборудования будет максимальной, т.е.

max_{z G}Y₁(z)=Y₁()

Функцию Y(z) называют ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ задачи.

По данным одного из предприятий были рассмотрены с разной точностью оптимальные квартальные планы, отвечающие некоторому набору исходных данных.

Расчеты показали, что для сравнительно близких оптимальных зна­чений целевой функции Y(z) (при отклонениях порядка 1 %) количество

изделий, подлежащих выпуску по этим оптимальным планам, по отдельным наименованиям колеблется в пределах нескольких сотен. Т.о., задача является неустойчивой.

Итак, исходные данные в задачах оптимального планирования зада­ются обычно приближенно. Если терминологически различить РЕШАЕ­МУЮ (точную) и ЗАДАВАЕМУЮ (заданную, приближенную к точной), то задаваемая задача не позволяет сделать заключения ни об устойчивости решаемой задачи, ни о единственности ее решения. Точное же решение за­данной задачи неэффективно для исследования решаемой задачи.

Обычно в математической постановке задач оптимального планиро­вания при выборе целевой функции Y(z) = (C,z) учитываются не все факторы. К ним относятся, например, требования небольшого отклонения иско­мого оптимального плана, отвечающего новым (мало отличающимся от прежних) исходным данным, от прежнего плана (требование минимизации организационной перестройки). Введение в новой целевой функции сла­гаемого можно рассматривать как поправку на влияние неучтен­ных факторов, а Л - как величину экспертной оценки их влияния.

В заключение раздела, обратим внимание на математическую теорию катастроф, которая с успехом может бить использована в подобных случаях.

Как уже неоднократно отмечалось, все задачи механики (и экономики также) решаются составлением уравнений равновесия. И катастрофа (разрушение конструкции, экономическим спад и пр.,) наступает тогда, когда система вынуждена искать новое состояние равновесия. И, таким образом, катастроф нужно рассматривать, как переход системы в новое состояние равновесия.

Как искать причины катастрофы?

Мы уже обращали внимание на то, что, рассматривая какие-либо процессы и питаясь их описать, мы из сложного явления выделяем ту задачу, которая интересует нас в настоящее время, спуская, в то же время, многие побочные процессы, считая их не существенными для нашей задачи. То есть работаем по схеме (кстати, так развиваются все науки); побочные реакции системы, которые вследствие их кажущейся малости не рассматриваются. Часто их проcто не замечают. Но эти, казалось бы, не очень существенные малозаметные реакции системы, накапливаясь, могут привести к катастрофе.

 

 

Прогнозирование экономического развития.

Составление прогнозных планов, конечно, необходимо. Однако, нужно иметь в виду, что учесть все "риски" и особенности ситуаций, возникающих в развитии экономики страны, фирмы, предприятия, с достаточной достоверностью, в большинстве случаев, не представляется возможным. Наглядность зависи­мости надежности прогнозов от времени, на которое делается прогноз, может дать график рисунка

 

КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

9.1. Курсовое проектирование и его роль в подготовке инженера.

Каждый молодой инженер должен иметь не только хорошую мировоззренческую подготовку и достаточный комплекс знаний, не только некоторый опыт производственной работы, но и определен­ные навыки в проведении творческой работы, в умении включать в работу свой творческий потенциал. Последнее может быть достиг­нуто путем включения будущих инженеров в творческую работу еще на студенческой скамье.

Самостоятельная расчетно-конструкторская работа студента весьма эффективно формирует навыки к постоянной самостоятель­ной деятельности.

Успешная деятельность инженера не может базироваться только на знании отдельных сторон инженерного дела. Без знания особенностей изготовления и эксплуатации машин нельзя рассчи­тывать на успешную работу по их проектированию, а без знаний особенности проектирования и изготовления невозможно надеяться на полное и правильное их использование.

Вот почему от каждого инженера, вне зависимости от содержа­ния и характера его работы по специальности, требуются прочные и глубокие знания по проектированию, изготовлению и эксплуатации инженерных сооружений и машин, относящихся к той области тех­ники, в которой он занят, которой он себя посветил.

Сказанное объясняет обязательное включение в программы подготовки инженера любой специальности учебного проектирова­ния, каким, в частности, является курсовое проектирование по де­талям машин и механическим передачам общего назначения.

Курсовое проектирование по деталям машин и механическим передачам общего назначения является первым проектированием студента высшей школы. Значение этого проектирования трудно пе­реоценить. От реального проектирования, выполняемого в проект­ных организациях, оно отличается немногими этапами: оно не со­держит обязательного для реального проектирования составления исполнителями проекта технического задания на проектирование, в котором задаются основные характеристики и требования к будущей машине, и не включает проведения специальных лабораторных ис­следований, доводки и сдаточных испытаний опытных узлов и проб­ного образца спроектированной машины. Это, однако, не умаляет роли курсового проектирования во всем комплексе подготовки молодого инженера. Оно является большим и важным звеном этого комплекса и требует от студента некоторой подготовки по таким дисциплинам, как машиностроительное черчение, технология мате­риалов, металловедение, теоретическая механика, сопротивление материалов (механика деформируемого тела), механика машин, технические измерения и основы взаимозаменяемости, детали ма­шин и механические передачи, технология машиностроения.

Знание студентом этих дисциплин не должно носить формаль­ного характера. Оно должно опираться на владение навыками само­стоятельной работы и на умение выполненному решению рядовой инженерной задачи дать критическую оценку, развернутый и строгий анализ. Лишь при соблюдении этого условия можно рассчитывать на то, что курсовой проект будет выполнен студентом на надлежа­щем уровне и что из работы над проектом студент извлечет важные для будущего инженера знания, опыт, кругозор.