Определение напряжений при растяжении

Брус нагружен силой F. Нагружение бруса силой F будем считать статическим. Используем метод сечений. Определим напряжение в сечении 1-1, так как оно имеет наи­меньшую площадь (рис.22).

Рис.22

 

Внут­ренние силы будут па­раллельны оси стержня, так как они должны уравно­весить внешнюю силу F. Следовательно, в попе­речном сечении (например, 1-1) возникают только нор­мальные напряжения s. Запишем уравнение рав­новесия

,

где s dA – элементарная внутренняя сила на площадке . Найти отсюда σ невозможно, так как неизвестен закон распределения σ по сечению бруса. Рассмотрим деформацию стержня. Как показали опыты, продольные элементы растянутого стержня удли­няются одинаково. Это дает основание считать, что нормальное напряжение по сечению постоянно. Тогда третий этап определения напряжений дает

и Н/м².

Перемещения и деформации при растяжении. Изменение первоначальной длины стержня под действием силы F называется удлинением. Линейная деформация определяется как относительное удлинение (величина безразмерная, так называемая мера Коши) (рис. 23).

.

 

Рис.23

 

Закон Гука. Непосредственными опытами установлено, что в пределах упругих деформаций абсолютное удлинение стержня ∆l пропорционально приложенной силе. Тогда следует, что напряжения пропорциональны относительному удлинению (укорочению). Этот закон (Р. Гук, 1576 г.) записывается так

,

где Е – коэффициент пропорциональности (постоянная для дан­ного конкретного материала), называется модулем упругости при растяжении или сжатии (модуль упругости первого рода).

Из формулы видно, что размерность Е будет Н/м². Закон Гука можно записать в виде

.

Для упруго-деформированного тела это и есть уравнение состояния. Величина ЕА называется жесткостью стержня при растяжении.

Расчетное уравнение. Итак, в поперечном сечении растяги­ваемого стержня возникают напряжения и стержень получает уд­линения. Для надежной работы стержня возникающие напряжения и перемещения не должны превышать какие-то определенные (до­пускаемые) значения. Поэтому необходимо нормирование этих величин. Нормируя величины напряжений и перемещений получаем расчетные уравнения. Чаще нормируют напряжения, в результате получают расчетные уравнения на прочность

или ,

где [ σ ] – допускаемое значение напряжения. Оно зависит от ро­да материала и характера деформированного состояния.

Расчетные уравнения позволяют решать следующие задачи:

1. Так называемую прямую задачу. По заданной силе F и допус­каемому напряжению [ σ ] определяются размеры поперечного се­чения.

2. Задачи проверочного характера. По заданной силе и известной площади поперечного сечения А определяются фактические напряжения и сравниваются с допустимыми. Или же по известным А и [ σ ] определяют допустимую нагрузку.

Температурные напряжения. При изменении температуры статически неопределимой системы в ней возникают напряжения и при отсутствии внешних нагрузок. Если, например, стержень за­щемлен обоими концами (рис. 24), то при изменении его температуры в нем возникают так называемые температурные напряжения. Величина их определяется соотношением

,

где α – коэффициент линейного расширения.

 

Рис. 24