Распределение молекул по скоростям. Закон максвелла

Предположим, что мы располагаем способом одновременного определения скоростей N-молекул некоторого количества газа. Изобразим полученные результаты в виде точек на оси u. При этом мы получим «моментальную фотографию» скоростей молекул для некоторого момента времени t. Если бы все значения были одинаково вероятны, точки распределялись бы по оси равномерно (рис.7.3)

O x x x x x x x x x x x u   Рис.7.3

 

Однако скорости группируются в основном вблизи некоторого, наиболее вероятного значения. Близкие к нулю и очень большие значения скоростей встречаются сравнительно редко. Поэтому распределение точек по оси u будет неравномерным с плотностью, различной на разных участках оси (рис.7.4).

O x x x x x x x x x x x u Du   Рис.7.4

 

Отношение числа точек DN_u, попадающих в пределах интервала Du, к величине этого интервала, называется плотностью точек (r):

.

Если сопоставить ряд фотографий для разных моментов времени, то плотность будет различна. Для газа, находящегося в равновесном состоянии, т.е. для газа с неизменяющимися параметрами, плотность, с которой распределены точки на различных участках оси u для всех моментов времени будет одна и та же.

Если взять несколько порций газа, находящегося в идентичных условиях, то распределение молекул по скоростям будет также идентично. Однако плотность точек по оси u при одинаковом характере распределения по оси, очевидно, пропорциональна количеству молекул N и, следовательно, для различных порций газа будет различна. Одинаковым для различных порций будет соотношение

. (7.12)

Определенная таким образом функция f(u) характеризует распределение молекул газа по скоростям и называется функцией распределения, где

DN_u = Df(u)Du - число молекул, скорость которых больше u, но меньше u+Du;

есть вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей.

Попытаемся найти аналитическое выражение закона распределения молекулярных скоростей. Скорость каждой молекулы изображается вектором. В прямоугольной системе координат вектор скорости u определяется координатами u_x, u_y, u_z (рис.7.5). Очевидно, что эти координаты одновременно будут являться компонентами скорости вдоль выбранных осей координат. Тогда число молекул , составляющие скорости которых больше u_x, но меньше u_x+Du_x согласно равенству (7.12), равны

. (7.13)

Отношение есть вероятность для произ-вольно выбранной молекулы обладать скоростью, лежащей в указанном интервале. Рассуждая аналогично, можно написать выражение вероятности для молекул обладать составляющей скорости

z     uz   ux x uy y Рис.7.5

вдоль оси y, большей u_y и меньшей u_y+Du_y:

. (7.14)

Вероятность составляющей скорости вдоль оси z, заключенной в пределах от u_z до u_z+Du_z:

. (7.15)

Из теории вероятности известно, что вероятность совместного осуществления трех независимых событий равна произведению их вероятностей. Поэтому вероятность для молекулы обладать скоростью, компоненты которой заключены в пределах от u_x, u_y, u_z, до (u_x+Du_x), (u_y+Du_y), (u_z+Du_z) найдется перемножением 3-х вероятностей (7.13), (7.14) и (7.15):

. (7.16)

Допустим, что нижний предел скорости u=const, в этом случае

;

u_xDu_x+u_yDu_y+u_zDu_z = 0.

Допустим также, что

Du_xDu_yDu_z = const.

При выполнении этих предположений должна оставаться неизменной и вероятность того, что молекула обладает скоростью, удовлетворяющей сформулированным выше требованиям. Если это так, то

, (7.17)

. (7.18)

Подставив в равенство (7.17) равенство (7.16) и учитывая (7.18), получим

Разделим полученное уравнение на произведение функций f(u_x)f(u_y)f(u_z), получим

. (7.19)

Умножим выражение (7.17) на произвольную величину l, сложим с уравнением (7.19), сгруппируем члены в соответствии с индексами у u и получим

.

В силу произвольности величин du_x, du_y, du_z написанное уравнение может выполняться в том случае, если каждый из стоящих в скобках двучленов порознь равен нулю, т.е.

; (7.20)

; (7.21)

. (7.22)

Обозначим f(u_x,)=y, тогда и (7.20) перепишется в виде

.

После интегрирования

имеем

,

где А – постоянная интегрирования. Потенцируя данное выражение, получим

.

Таким образом, искомое выражение вероятности того, что скорость молекулы в направлении оси x, заключенной в пределах от u_x до u_x+Du_x будет равна

.

Аналогичные выражения можно получить из (7.21) для вероятности того, что скорость молекулы вдоль оси y заключена в пределах от u_y до u_y+Du_y и из (7.22) для вероятности того, что скорость молекулы в направлении оси z заключена в пределах от u_z до u_z+Du_z.

Вероятность совместного события найдется перемножением соответствующих вероятностей, т.е.

.

Если в этом выражении заменить и определить значение постоянных, то вероятность того, что молекула движется независимо от направления со скоростью, заключенной в пределах от u до u+Du, будет выражаться следующим соотношением

, (7.23)

где m - масса, k - постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Учитывая, что , из (7.23) получим

. (7.24)

Это выражение и является искомым законом распределения молекулярных скоростей Максвелла.

Таким образом, конкретный вид функции распределения зависит от рода газа (массы молекул) и от температуры. Давление газа и объем на распределение молекул по скоростям не влияют. Графическое изображение закона распределения Максвелла, представленном на рис.7.6.

f(u)     u u u+Du uвер   Рис.7.6

Из графика видно, что f(u) функция распределения стремится к нулю при u®0 и u®¥. Следовательно, относительное число молекул в газе, обладающее очень малыми и очень большими скоростями ничтожно мало. Скорость, отвечающая макси-мальному значению функции распределения, будет, очевидно, наиболее вероятной.

Для нахождения максимума функции f(u) продифференцируем выражение (7.24), заменяя через :

;

и, приравняв к нулю ,

получим

.

Значение u, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое u_вер:

.

Вычисления показывают, что

, ,

поэтому .

При возрастании температуры средняя скорость и наиболее вероятная скорость u_вер увеличиваются пропорционально , и максимум распределения сдвигается вправо (рис.7.7). При этом число медленных молекул убывает, а число быстрых – возрастает. Но площадь под кривой, равная полному числу всех молекул газа , остается постоянной. Необходимо подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия, справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии.

Закон справедлив для любого числа , если только это число достаточно велико.

Закон Максвелла – статистический закон, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики.

f(u) T2>T1   T1 T2   0 u   Рис.7.7

Обратим внимание еще на следующие обстоятельства. При каждом столкновении молекул в газе изменяется не только направление, но и величины скоростей обеих сталкиваю-щихся молекул. Скорости одних молекул при этом увели-чиваются, других – умень-шаются. Но число молекул, ско-

рость которых лежит в любом определенном интервале скоростей Du, не меняется.

Если в результате столкновений в единицу времени Dn молекул, обладавших скоростью в интервале Du, изменяют свою скорость, то ровно столько же молекул, обладавших ранее другими скоростями, приобретут в результате столкновений скорость в пределах Du.

Раз установившееся максвелловское распределение по скоростям в дальнейшем сохраняется. Более того, как показал Больцман, в результате взаимодействия между молекулами, каким бы ни было исходное распределение скоростей, в конце концов (весьма быстро) устанавливается максвелловское распределение.

 

Барометрическая формула.

Действие силы тяжести приводит к определенному распределению молекулярной плотности по высоте газового столба. Одновременно с изменением плотности изменяется и давление, измеряемое барометром.

Пусть имеется свободный столб газа, поддерживаемый при постоянной температуре. Выделим мысленно столб газа с основанием 1 см² (рис.7.8). Обозначим р₀ давление газа у основании столба, р – давление газа на высоте h. Тогда давление газа на высоте h+dh равно p+dp. Причем, давление во втором сечении будет меньше, чем в первом на величину p+dp.

Уменьшение давления равно весу столба газа сечением 1 см^2, заключенного между 1-м и 2-м сечениями, который равен rgdh т.е. p-(p+dp) = rgdh, где r - плотность газа на высоте h.

p+dp 2 dh p 1 h   p0 Рис.7.8

Отсюда

dp = -rgdh. (7.24)

Из уравнения Менделеева-Клайперона следует, что

,

где V - объем газа, М – молярная масса газа, m - масса газа. Заменим

в данном уравнении через r - плотность газа:

. (7.25)

Подставим (7.25) в (7.24):

,

разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

;

;

.

Потенцируя последнее уравнение, найдем зависимость давления от высоты при сделанном нами допущении о постоянстве температуры:

. (7.26)

Эта формула называется барометрической.

 

p M1< M2 T1 > T2   M1(T1)     M2(T2)   h Рис.7.9

Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (больше М) и чем ниже температура (рис.7.9).