Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению количества движения молекулы. Каждый элемент поверхности стенки Ds непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством молекул, в результате чего за время Dt получает суммарный импульс, направленный по нормали к Ds. Отношение импульса к Dt, как известно, есть сила, действующая на Ds и есть давление. Для получения этого давления введем два упрощения, касающиеся характера движения молекул.

Будем полагать, что моле-кулы движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных на-правлений. Если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться молекул, причем половина из

Рис.7.1

них, т.е. , движется вдоль данного направления в одну сторону, половина – в противоположную сторону (рис.7.1). Основываясь на таком предположении, мы будем считать, что в интересующем нас направлении движется часть молекул.

Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам мы придадим одинаковое значение скорости. Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда, ударяющейся об него молекулой. До удара о стенку количество движения молекулы направлено по внешней нормали к Ds и равно mu (рис.7.2). В результате удара количество движения меняет знак.

Таким образом, приращение количества движения молекулы равно

(-mu) - (mu) = -2mu.

По третьему закону Ньютона стенка получит при ударе импульс 2mu, имеющий направление нормали.

-mu   mu Ds   Рис.7.2

Согласно второму закону Ньютона, для DN молекул полу-чим равенство FDt = 2mu×DN, где FDt - импульс силы, 2mu×DN - удвоенный импульс DN моле-кул. За время Dt до элемента стен-

ки Ds долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием Ds и высотой uDt. Число этих молекул равно

,

где n - число молекул в единице объема.

Число ударов молекул о площадку Ds за единицу времени будет равно

.

Умножим число ударов на импульс, сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс, сообщаемый элементу стенки за время Dt,

,

т.е.

.

Разделив эту величину на Ds и Dt, получим давление газа, оказываемое на стенки сосуда

. (7.1)

Учитывая, что - кинетическая энергия поступательного движения молекулы, предыдущее выражение можно записать в виде

. (7.2)

Если в выводе учесть, что скорости отдельных молекул u_i будут различны, то величину nu² следует заменить суммой квадратов ско-

ростей каждой из молекул, находящихся в единице объема

.

Отсюда видно, что в (7.1) следует заменить u² на , так как - средний квадрат скорости, и переписать уравнение (7.2) в виде

,

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

.

Соотношение

. (7.3)

называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа.