Эффективный диаметр молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекулы

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.7.11). Путь, который проходит молекула за время между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега .

d   Рис.7.11

Длина свободного пробега случайная величина. Поэтому имеет смысл ввести понятие средней арифметической длины свободного пробега. Средняя арифметическая величина сво-бодных пробегов называется сре- дней длиной свободного про-бега, т.е.

,

где z - число соударений.

Число свободных пробегов за какой-то промежуток времени совпадает с числом соударений молекулы за тоже время. Если за 1 с молекула испытала z соударений, то длина ее траектории, численно равная средней скорости ее движения, будет состоять из z свободных пробегов.

Отношение средней скорости движения молекулы к средней длине свободного пробега определяет среднее число соударений.

.

Для вычисления средней длины свободного пробега молекулы предположим, что все молекулы газа, за исключением одной, неподвижны и распределены равномерно по всему объему. Будем считать, что скорость движущейся молекулы совпадает со средней скоростью молекулярного движения идеального газа. Двигаясь, молекула соударяется с другими всякий раз, когда она приближается к ним настолько, что расстояние между их центрами делается равным эффективному диаметру молекулы (рис.7.12).

Опишем вокруг движущейся молекулы сферу радиусом, равным эффективному диаметру молекулы, и назовем ее сферой ограждения молекулы. Всякий раз, когда движущаяся молекула сближается с какой-либо другой молекулой настолько, что центр последней находится на поверхности сферы ограждения, происходит соударение молекул. При движении молекулы сфера ограждения вырезает в прост-ранстве цилиндр с основанием pd^2.

d   Рис.7.12

Если молекула движется в течение 1 с, то высота этого цилиндра

равна средней скорости молекулы , а объем, вырезанный сферой ограждения, составляет

.

Очевидно, что соударения будут происходить всякий раз, когда центр встречной молекулы будет находиться вблизи цилиндра, вырезанного сферой ограждения. Следовательно, для определения среднего числа соударений достаточно подсчитать число молекул газа, центры которых находятся вблизи указанного цилиндра. Это число равно произведению объема цилиндра V на количество молекул газа в единице объема n₀.

Таким образом, среднее число соударений молекулы за одну секунду равно

.

При получении этого соотношения все молекулы газа, кроме одной, считались неподвижными.

Более строгая теория показывает, что при учете движения всех молекул и при условии, что скорости молекулярного движения распределены согласно закону Максвелла, среднее число соударений молекулы за 1 с будет несколько больше и может быть подсчитано по уравнению

.

Зная среднее число соударений молекулы, можно определить среднюю длину пробега молекулы:

, (7.34)

где n₀ - число молекул газа в единице объема.

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

, (7.35)

подставив (7.35) в (7.34), получим

.

Таким образом, при постоянной температуре средний свободный пробег молекулы обратно пропорционален давлению. При повышении температуры средняя длина пробега несколько растет. Зависимость от Т дается формулой Сёзерленда

,

где С – характерная для каждого газа постоянная величина, имеющая размерность температуры и носящая название постоянной Сёзерленда, - средняя длина свободного пробега при Т® ¥.

 

Явления переноса в газах

До сих пор мы рассматривали газ, находящийся в равновесном состоянии. Такое состояние газа характеризуется тем, что параметры газа (объем, давление, температура) не изменяются. Теперь рассмотрим явления, возникающие при отклонении газа от равновесия, причем ограничимся случаями, когда отклонения невелики. Подобные явления называются явлениями переноса. Мы рассмотрим три таких явления:

1) внутреннее трение или вязкость;

2) теплопроводность;

3) диффузию.