Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы

Средняя кинетическая энергия поступательного движения любой

молекулы определяется выражением

.

Эту величину можно разложить на три составляющие, соответственно трем произвольно выбранным координатным осям, поскольку всякое поступательное движение твердого тела может быть разложено на три независимых движения, происходящих вдоль трех независимых осей координат. По предложению Максвелла, эти независимые движения называют степенями свободы молекул. Число степеней свободы молекулы совпадает с числом независимых координат, которые необходимо ввести для определения положения молекулы в пространстве.

Итак, любая молекула обладает тремя степенями свободы поступательного движения.

В классической кинетической теории молекулы, состоящие из одного атома, принимались за идеально гладкие твердые шарики, у которых отсутствовало вращательное движение. На этом основании считают, что одноатомные молекулы обладают только тремя степенями свободы поступательного движения. У двухатомной молекулы к трем степеням свободы поступательного движения следовало бы добавить три степени свободы вращательного движения. Эти три степени свободы соответствуют трем взаимно перпендикулярным осям вращения. Однако одну из осей вращения можно совместить с осью молекулы.

Таким образом, всем двухатомным молекулам следует приписать две степени свободы вращательного движения. Общее число степеней свободы двухатомной молекулы равно пяти. Это число совпадает с числом независимых координат, необходимых для определения положения двухатомной молекулы в пространстве.

Действительно, для определения положения двухатомной молекулы в пространстве необходимо и достаточно указать координаты ее центра тяжести (x,y,z) и два угла j и q (рис.8.4).

Для многоатомной молекулы с нелинейным расположением атомов сохраняется три степени свободы вращательного движения и поэтому общее число степеней свободы, обусловленное поступательным и вращательным движением молекулы, равно шести.

z z1   q j   x1 x y1   y Рис.8.4

В приведенном подсчете числа степеней свободы принималось, что атомы в молекулах закреп-лены неподвижно и не могут колебаться друг относительно друга. Опыт показывает, что при комнатной температуре для двухатомных газов это предполо-жение оправдывается. Хаотичность молекулярного движения требует, чтобы ни одно

из направлений не было бы преимущественным в отношении движения.

Это равносильно требованию равномерного распределения кинетической энергии между тремя степенями свободы поступательного движения. Максвелл обобщил эту закономерность в принципе равномерного распределения энергии, который гласит: в системе, состоящей из большого числа частиц, кинетическая энергия распределяется в среднем поровну между степенями свободы движения частиц.

Итак, на три степени свободы поступательного движения молекулы приходится в среднем кинетическая энергия . Следовательно, на одну степень свободы будет приходиться . Такое же количество кинетической энергии будет приходиться при температуре Т на любую другую степень свободы движения молекул.

Таким образом, если молекула газа обладает i-степенями свободы, то средняя кинетическая энергия ее будет равна

.

Тогда для нахождения кинетической энергии одного моля газа эту величину нужно умножить на число Авогадро

,

но N_Ak=R. Таким образом, внутренняя энергия одного моля идеального газа равна

,

так как по определению газ называется идеальным, если потенциальную энергию взаимодействия молекул можно считать равной нулю. Внутренняя энергия произвольной массы газа будет равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число молей газа, содержащегося в массе m:

.