Вязкость газов (внутреннее трение)

Предположим, что в газе параллельно неподвижной пластине АВ движется с постоянной скоростью расположенная выше ее пластина СD (рис.7.13, a).

В результате движения верхней пластины приходят в движение слои газа, находящиеся между ней и нижней пластиной. Скорость этого упорядоченного движения газа убывает по мере удаления от верхней, т.е. движущейся пластины.

 

y C D DN+ u1+Du1   u1 u1 u1-Du1   A B DN- x a) б) Рис.7.13

Опыт показывает, что для равномерного движения пластины к ней должна быть приложена некоторая сила F, называемая силой вязкости. Согласно закону, открытому эмпирически Ньютоном, сила вязкости, действующая на пластину с поверхностью s, может быть подсчитана по уравнению

, (7.36)

где - градиент скорости, показывающий изменение скорости на единицу длины в направлении, перпендикулярном направлению движения газа; h - коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения.

Выделим в газе мысленно площадку в 1 см², параллельную пластинам АВ и СD, расположенную между ними. В результате беспорядочного теплового движения молекул газа через выделенную площадку за 1 с будет в направлении сверху вниз проходить некоторое количество молекул DN₊. Так как плотность газа остается неизменной, то, очевидно, этот переход компенсируется встречным переходом такого же количества молекул газа снизу вверх DN_-.

Если обозначить массу молекулы m, то молекулы, движущиеся сверху вниз (рис.7.13, б), пронесут за 1 с через рассматриваемую площадку количество движения

DN₊m(u₁+Du₁),

а молекулы, движущиеся навстречу – количество движения

DN_-m(u₁-Du₁).

Таким образом, в выделенной площадке за одну секунду будет происходить изменение количества движения равное разности

DN₊m(u₁+Du₁) - DN_-m(u₁-Du₁)=2DNmDu₁.

Изменение количества движения, согласно второму закону Ньютона, равно импульсу силы

FDt = 2DNmDu₁, (7.37)

где F в данном случае и будет сила вязкости.

Для теоретического вычисления коэффициента вязкости сделаем следующие предположения.

1. Поскольку движение молекул хаотично и все направления движения равновероятны, будем считать, что в выбранной нами системе прямоугольных координат одна треть молекул движется вдоль оси x, одна треть – вдоль оси y и одна треть – вдоль оси z, т.е. в выбранном направлении в единице объема движется молекул (см. рис.7.1).

2. Все молекулы движутся с одной и той же скоростью, равной средней скорости движения молекул и имеет одну и ту же длину свободного пробега, равную средней длине свободного пробега . При этих допущениях число молекул, проходящих через время Dt через поверхность s, равно

. (7.38)

Подставляя (7.38) в (7.37), найдем силу, с которой взаимодействуют два соседних слоя:

,

. (7.39)

Пусть на участке Dy скорость изменилась на Du, а скорость молекулы, находящейся от площадки Ds на расстоянии средней длины свободного пробега на Du₁.

Тогда из подобия треугольников АВС и DЕК (рис.7.14)

. . (7.40)

Подставив (7.40) в (7.39), получаем

. (7.41)

Сравнивая полу-ченное выражение с соотношением (7.36), можно записать для коэффициента вязкости . Учитывая, что про-изведение числа моле-кул в единице объема

y A Du B Dy D Du1 E u1 K     C u Рис.7.14

на массу молекулы есть плотность, выражение для коэффициента вязкости перепишем в виде

 

. (7.42)

Более строгие рассуждения дают аналогичный результат.

Из уравнения (7.42) видно, что коэффициент вязкости не зависит от давления. Этот результат объясняется следующим образом. С понижением давления уменьшается число молекул, участвующих в переносе импульса, так как

.

Одновременно растет длина свободного пробега , а значит растет и различие в импульсах, переносимых одной молекулой в противоположных направлениях. В итоге получается, что суммарный импульс, переносимый молекулами при данном градиенте скорости, не зависит от давления.

Далее, учитывая, что с ростом температуры коэффициент вязкости должен расти, что хорошо согласуется с опытом.

 

Закон Стокса

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиусом r в газе. Обозначим скорость шарика относительно газа через u₀. Распределение скоростей, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис.7.15.

r L x   u0   Рис.7.15

В непосредственной бли-зости к поверхности шара эта скорость равна u0, а по мере удаления уменьшается и практически становится рав-ной нулю на некотором рас-стоянии L от поверхности. Чем больше радиус шара, тем больше масса газа, вовлеченная им в движение. L должно быть пропор-ционально r:

,

где - коэффициент пропорциональности.

Тогда среднее значение градиента скорости по поверхности шара равно

.

Поверхность шара S=4pr² и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

.

Интегрирование уравнений движения вязкой жидкости (газа), проведенное Стоксом, далo для шара значение . Следовательно, сила сопротивления, испытываемая шаром движущимся в вязком газе, прямо пропорционально вязкости газа h, радиусу шара r и скорости движения u₀:

.

 

Теплопроводность газов

Рассмотрим газ, заключенный между двумя параллельными стенками, имеющими различные температуры Т_А и Т_В (рис.7.16). Проведем ось x перпендикулярно к стенкам. Температура промежуточных слоев газа T(x) будет функцией координаты x. При наличии градиента температур через газ в направлении оси x будет идти поток тепла.

Механизм переноса тепла состоит в следующем. Молекулы в разных слоях газа обладают различной средней кинетической энергией, обусловленной разли-чием температур слоев. В силу хаотичности своего движения молекулы будут непрерывно переходить из слоя в слой, перенося в новый слой энергию, которой обладал покидаемый

TА   Т1   Т2 TВ Ds x x   Рис.7.16

ими слой. Таким образом, движение молекул газа приводит к перемешиванию молекул, имеющих различные кинетические энергии , т.е. с макроскопической точки зрения к потоку тепла. При подсчете потока тепла введем следующие упрощения:

- будем считать, что молекулы в близких слоях газа, обладающих различными значениями средних энергий , имеют одинаковую среднюю скорость;

- примем, что концентрация молекул n одинакова в соседних слоях газа.

Рассмотрим площадку Ds, перпендикулярную к оси x. За время Dt через площадку проходит слева направо молекул. Средняя энергия молекулы соответствует значению в том месте, где они последний раз испытывали столкновение, т.е. на расстоянии длины свободного пробега от площадки Ds. Обозначим значение температуры в плоскости через Т₁. Тогда для одноатомного идеального газа средняя кинетическая энергия запишется в виде

.

Число молекул, проходящих через площадку Ds за время Dt справа налево:

.

Средняя энергия этих молекул

,

где Т₂ – значение температуры в плоскости .

Полный поток энергии DQ, проходящей через площадку в положительном направлении оси x, равен разности двух противоположных потоков

;

. (7.43)

Поток тепла через единицу площади в единицу времени обозначим q, т.е.

.

Из выражения (7.43) находим, что

,

где называется градиентом температуры.

Введя обозначение

,

получим окончательное выражение для закона теплопроводности

.

Поток тепла, проходящий через единицу площади за единицу времени, прямо пропорционален градиенту температуры. l - называется коэффициентом теплопроводности. Физический смысл коэффициента теплопроводности определяется следующим образом. Если положить , то l=q, т.е. коэффициент теплопроводности показывает количество тепла проходящего через единицу площади соприкасающихся слоев за единицу времени, при градиенте температуры, равном единице. Знак «минус» указывает, что поток тепла направлен в сторону уменьшения температуры.

Средняя энергия всех n–молекул, заключенных в единице объема, равна

.

Если нагреть газ на один градус так, чтобы число его молекул в единице объема оставалось постоянным, т.е. при неизменном объеме, то эта энергия увеличивается до

.

Возрастание внутренней энергии при таком процессе

. (7.44)

Величина представляет собой количество тепла, необходимое для нагревания единицы объема газа на один градус при постоянном объеме, т.е. теплоемкость единицы объема.

Обозначим через с_у удельную теплоемкость газа, т.е. количество тепла, необходимого для нагревания единицы массы газа на один градус. Поскольку масса единицы объема равна его плотности, то

Е¢_V - Е_V = r с_у. (7.45)

Из выражения (7.44) и (7.45) получаем

и коэффициент теплопроводности запишется в виде

.

Единицу измерения коэффициента теплопроводности получим, подставив в данную формулу единицы измерения соответствующих

величин:

.

Таким образом, коэффициент теплопроводности прямо пропорционален удельной теплоемкости. Это соотношение выведено для одноатомных газов. Можно показать, что оно справедливо и для многоатомных газов.

 

Диффузия газов

Диффузией газов называют процесс взаимного проникновения двух соприкасающихся газов, обусловленный тепловым движением молекул. Пусть в газе присутствует посторонняя примесь с концентрацией n. В данный момент времени концентрация примеси в различных точках объема может быть различной и зависеть от пространственной координаты x. Если в точке с координатой x концентрация имеет величину n, то в соседней точке, сдвинутой на расстояние Dx значение концентрации будет равно n+Dn (рис.7.17)

Отношение называет-ся градиентом концентрации. Градиент концентрации харак-теризует быстроту изменения концентрации в пространстве. Если , то хаотическое движение будет стремиться выровнять концентрации, в

n   n+Dn n     x x+Dx x Рис.7.17

результате чего возникнет поток молекул примеси.

Для вычисления диффузионного потока расположим в плоскости x (рис.7.18) контрольную площадку Ds, перпенди-кулярную оси x. Подсчитаем число молекул примеси, проходящих за время Dt через ту же площадку слева направо.

Исходя из сформулированных нами ранее допущений, имеем, что

,

где n₁ - концентрация примеси слева от контрольной площадки до

плоскости , а - средняя длина свободного пробега.

Так как выравнивание концент-раций происходит лишь в результате взаимных столкнове-ний, то на пути концентрация не меняется и остается равной значению n1 в плоскости . Поток молекул примеси, проходящий через площадку справа налево в направлении отрицательных значений коорди-наты x, аналогично равен

TА   Т1   Т2 TВ Ds x x   Рис.7.16

,

где n₂ - концентрация примеси в плоскости на расстоянии справа от площадки.

Суммарный диффузионный поток через площадку в направлении положительной оси x представляет собой разность этих двух потоков:

DN = DN₊ - DN_-.

Поток молекул, проходящих через единицу площади за единицу времени, будет равен

. (7.46)

Обозначим и выражение (7.46) преобразуем в виде

. (7.47)

Разность n₂-n₁ есть приращение концентрации Dn на расстояние . Следовательно, отношение представляет собой градиент концентрации в направлении, параллельном оси x.

Обозначим через . Тогда выражение (7.47) примет вид

. (7.48)

Это математическая запись закона диффузии, который гласит: поток молекул примеси, диффундирующих через единицу площади за единицу времени, прямо пропорционален градиенту концентрации.

Знак «минус» в формуле (7.48) указывает на то, что диффузионный поток направлен противоположно градиенту концентрации, т.е. в сторону уменьшения концентрации. Коэффициент пропорциональности D носит название коэффициента диффузии. Он численно равен потоку молекул через единицу площади за единицу времени при градиенте концентрации, равном единице (точнее при ). При нормальных условиях его численная величина оказывается равной D»10^-5¸10^-4 м²/с.

ТЕРМОДИНАМИКА