Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

 

Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Решение однородного дифференциального уравнения.

Так как по условию . Положим , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. А само уравнение в этом случае примет вид .

Сделаем подстановку ; т.е. , тогда , подставим в исходное уравнение - это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение вида
(1)
можно свести к однородному типу.
Общий вид преобразований.
Для того, чтобы привести уравнение (1) к однородному типу дифференциальных уравнений надо составить систему вида:

Первый случай.
Эта система имеет решение.
Пусть решение этой системы:
.
Тогда, для приведения уравнения (1) к однородному типу необходимо сделать подстановку вида

Второй случай.
Напомним. Уравнение

Приводим к однородному типу, составили систему
,
а решений эта система не имеет.
В этом случае следует сделать замену .

6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли. Уравнения Бернулли.

 

Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит тождественно не равный нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Решение

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.

7. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение — однородно, если .

В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении

Уравнение вида

называется линейным неоднородным уравнением.
Уравнение вида

называется линейным однородным уравнением.

Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле

где C— произвольная постоянная,

Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения состоит в том, что решение неоднородного уравнения записывается в виде

где C (x) неизвестная функция. Подставляя в уравнение имеем для C (x)
откуда

и тогда для общего решения неоднородного уравнения справедливо

где C — произвольная постоянная.