Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (6.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y₁, у₂ и у₃:

где все коэффициенты а_ij (i,j= 1,2,3) - постоянные. Будем искать частное решение системы (6.6) в виде

где а, β, γ, k - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6).

Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель получим:

или

Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно К. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k₁ k₂, k₃. Для каждого корня k_i (i=1,2,3) напишем систему (6.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k_{1 частное решение системы (6.6):}

для корня

для корня

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (6.6) записывается в виде

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k₂=а- ib не даст новых линейно независимых действительных решений.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень К кратности m (m=2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

а) если m=2, то

б)если m=3, то

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А,В,С,...,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6.6).