Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальное уравнение Клеро
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида
Такое уравнение носит название уравнения Клеро. Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра. Найдём его решение. Положим . Тогда пишем:
Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем Преобразуем его в вид Приравнивая каждый множитель к нулю, получим
и
Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл
С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию
Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим Но поскольку , то . Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество . Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — суть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра из уравнений и или, что без разницы, исключением из уравнений и Следовательно, особое решение уравнения Клеро, определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом . 11. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка. Понятие частного и общего решения ОДУ -го (второго) порядка, его частного и общего интеграла. Геометрический смысл ОДУ второго порядка, разрешенного относительно старшей производной.
Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида
обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где — конкретные числа, то функция вида при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) называется общим решением дифференциального уравнения. Рассмотрим более подробно вопрос, о геометрическом истолковании уравнения второго порядка Уравнение второго порядка имеет общий вид F (x, y, y ', y '') = 0. (8.1) Его всегда можно переписать так: = 0. (8.2) Так как кривизна кривой y = y (x) в точке (x, y), то из формулы (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y (x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке. 12. Уравнения, допускающие понижение порядка. Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид F (x, y, y ', …, y (n)) = 0. (9.1) Если уравнение (9.1) F (x, y, y ', …, y (n)) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n), то оно примет вид y (n) = f (x, y, y ', …, y (n – 1)). (9.2) Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида y (n) = f (x). Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных. Уравнение вида F (x, y ', …, y (n)) = 0, Сделав замену y ' = z, где z = z (x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ' и находим y. Уравнение вида F (x, y (k), y (k + 1), …, y (n)) = 0, Производим замену y (k) = z, где z = z (x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y. Уравнение вида F (y, y ', …, y (n)) = 0, Сделав замену y ' = z, где z = z (y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
13. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го (второго) порядка. Свойства решений ЛОДУ. Определитель Вронского. Теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на функций. Теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ -го (второго) порядка на функций. Фундаментальная система решений ЛОДУ -го (второго) порядка. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ -го (второго) порядка.
Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение — однородно, если . В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении Теорема 1 о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство. Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25). Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1(x), y 2(x), …, yn (x) его n частных решений Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: 14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование ЛОДУ -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида где a 1, …, an – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.
15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го (второго) порядка. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ -го (второго) порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Теорема о наложении решений.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно: Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным. Терема 1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью
равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
и частного решения неоднородного уравнения (20) Теорема 2 о наложении решений. Если y 1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения Ln (y) = f 1(x), y 2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения Ln (y) = f 2(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения .
|
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 538; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.47.253 (0.023 с.) |