Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения, не содержащие явно одну из переменных.

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

. (1)

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной:

,

каждое из которых нужно решать.

Не всегда уравнение (1) разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения уравнение легко интегрируется. Поэтому уравнение вида (1) часто приходится решать методом введения параметра.

 

Пусть уравнение (1) легко разрешается относительно y или относительно x, например, его можно записать в виде . Введя параметр , получим .

Взяв полный дифференциал от правой и левой частей последнего равенства, и заменив dy через pdx, получим уравнение

,

т.е. .

Если найдено решения этого уравнения , то решения исходного уравнения запишем в параметрическом виде

.

 

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Уравнения не содержащие явно независимой переменной

Это уравнения вида

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

10. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общий метод введения параметров. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

. (1)

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной:

,

каждое из которых нужно решать.

Не всегда уравнение (1) разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения уравнение легко интегрируется. Поэтому уравнение вида (1) часто приходится решать методом введения параметра.