Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении

соответствующего однородного уравнения

на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

16. Интегрирование ЛНДУ -го (второго) порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

 

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

 

Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении (20) имеет вид

.

(37)

где P_{m 1}(x) и Q_{m 2}(x) - многочлены степеней, соответственно, m ₁ и m ₂, можно сразу указать вид частного решения в форме с неопределёнными коэффициентами. Общее правило таково: составим из коэффициентов при x в экспоненте и тригонометрических функциях число и пусть r - кратность числа s ₀ как корня характеристического уравнения, m = max(m ₁, m ₂). Тогда частное решение надо искать в виде , где R_m (x) и S_m (x) - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y _чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях (sin x или cos x), получим систему из 2(m + 1) уравнений относительно 2(m + 1) неопределённых коэффициентов многочленов R_m (x) и S_m (x). Решив эту систему, определим коэффициенты функции y _чн(x).
Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.
I. Если f (x) = P_m (x) (т.е. f (x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде y _чн(x)= R_m (x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде y _чн(x)= x^rR_m (x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. R_m (x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.
Это правило следует из общего, если записать f (x) = P_m (x) в виде f (x) = e ^{0 x} [ P_m (x) cos 0 x + 0 sin 0 x ]. В этом случае s ₀ = 0 + 0 i, m ₁ = m, m ₂ = 0, max(m ₁, m ₂) = m, поэтому
y _чн(x)= x^re ^{0 x} [ R_m (x) cos 0 x + S_m (x) sin 0 x ] = x^rR_m (x).