Устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость решения дифференциального уравнения первого порядка.

 

Любое дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений описывает с определенной степенью точности реальный физический процесс.

Приборы, фиксирующие то или иное физическое явление, не совершенны.

Может оказаться, что малая погрешность измерения начальных данных вызывает ”ощутимые” изменения решений уравнений. В этой ситуации нельзя гарантировать, что выбранная математическая модель реально отражает описываемое ею физическое явление.

 

И, наоборот, если малые возмущения начальных условий мало изменяют решения на всем промежутке их существования, то соответствующую математическую модель следует признать удачной.

Так возникает важный для приложений вопрос: при каких условиях, математическая модель, описываемая дифференциальными уравнениями, будет устойчивой.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Пусть некоторое фиксированное решение y = φ(x) этого уравнения существует при всех x ≥ x ₀.

Решение y = φ(x) уравнения называется устойчивым по Ляпунову при x ≥ x ₀, если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε) такое, что:

— решение y = y (x) задачи Коши с начальным условием y (x ₀), | y (x ₀) − φ(x ₀) | < δ, существует при всех x ≥ x ₀;

— для всех таких решений справедливо неравенство | y (x) − φ(x) | < ε, при всех x > x ₀.

 

Решение y = φ(x) уравнения называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при x → ∞, если

— это решение устойчиво по Ляпунову при x ≥ x ₀;

— для любого δ > 0 и для всех решений y = y (x) задачи Коши с начальным условием y (x ₀), | y (x ₀) − φ(x ₀) | < δ, разность | y (x) − φ(x) | → 0 при x → ∞.

 

 

21. Понятие устойчивости решений ДУ. Устойчивость решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость решения системы дифференциальных уравнений.

 

Любая система дифференциальных уравнений описывает с определенной степенью точности реальный физический процесс.

Приборы, фиксирующие то или иное физическое явление, не совершенны. Может оказаться, что малая погрешность измерения начальных данных вызывает ”ощутимые” изменения решений уравнений. В этой ситуации нельзя гарантировать, что выбранная математическая модель реально отражает описываемое ею физическое явление.

И, наоборот, если малые возмущения начальных условий мало изменяют решения на всем промежутке их существования, то соответствующую математическую модель следует признать удачной.

Так возникает важный для приложений вопрос: при каких условиях, математическая модель, описываемая системой дифференциальных уравнений, будет устойчивой.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть некоторое фиксированное решение x = φ (t) этой системы существует при всех t ≥ t ₀.

Решение x = φ (t) системы называется устойчивым по Ляпунову при t ≥ t ₀, если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε) такое, что:

— решение x = x (t) задачи Коши с начальным условием x (t ₀), | x (t ₀) − φ (t ₀) | < δ, существует при всех t ≥ t ₀;

— для всех таких решений справедливо неравенство | x (t ₀) − φ (t ₀) | < δ, при всех t ≥ t ₀.

Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x (t), близкие в момент t = t ₀ к интегральной кривой x = φ (t), остаются близкими к ней и на всем промежутке [ t ₀, ∞).

 

Решение x = φ (t) системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при t ≥ t ₀, если

— решение x = φ (t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t ₀;

— существует такое число Δ > 0, что любое решение x = φ (t), удовлетворяющее условию | x (t ₀) − φ (t ₀) | < Δ с ростом t стремится к нулю: | x (t ₀) − φ (t ₀) | → 0 при t → ∞..

Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x (t), близкие в момент t = t ₀ к интегральной кривой x = φ (t), приближаются к ней с ростом t.