Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных)

В главе IV “Законы (принципы) правильного мышления” была проанализирована специфика действия закона исключенного треть­его при наличии “неопределенности” в познании, сделан вывод, что закон этот применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: или - или, истина - ложь. Во многих неклассических логических системах формулы, соответствующие законам исклю­ченного третьего и непротиворечия, не являются тавтологиями.

Ниже приведена таблица (см. с. 430), в которой знаком “ + ” обозначено то, что в указанной логической системе закон не­противоречия и закон исключенного третьего, т. е. формулы и , являются тавтологиями (или выводимыми фор­мулами), и соответственно знаком “ - ”, когда не являются. Рас­смотрено, кроме того, отрицание закона непротиворечия, выражающееся формулой , и отрицание закона исключенного третьего, выражающееся формулой . В этих формулах име­ется в виду та форма отрицания, которая принята в указанной логической системе.

В интуиционистской и конструктивных логиках закон исклю­ченного третьего для бесконечных множеств “ не работает ”. Осу­ществимость в конструктивной математике понимается как потенциальная осуществимость конструктивного процесса, даю­щего в результате один из членов дизъюнкции, который должен

Вид логической системы	Закон исключенного третьего a	Закон непротиворечия	Отрицание закона исключен­ного третьего	Отрицания закона непротиворечия	Формальное противоречие
1. Двузначная классическая логика	+	+	-	-	-
2. Трехзначная логика Лукасевича	-	-	-	-	-
3. Трехзначная логика Рейтинга	-	+	-	-	-
4. Трехзнач-ная логика Рейхенба-ха: а)цикличе-ское отрицание	-	-	-	-	-
б) диаметраль-ное отрицание	-	-	-	-	-
в) полное отрицание	+	+	-	-	-
5. т -значная логика Поста: а)первое отрицание	-	-	-	-	-
б)второе отрицание	-	-	-	-	-
6. Конструктив-ная логика Маркова	-	+	-	-	-
7. Конструктив-ная логика Гливенко	-	+	-	-	-
8. Конструктив-ная логика Колмогорова	-	+	-	-	-
9. Интуиционистская логика Гейтинга	-	+	-	-	-

истинным. Но так как для бесконечных множеств нет алгоритма распознавания, что является истинным: а или не-а, то конструк­тивная логика отвергает закон исключенного третьего в преде­лах конструктивной математики.

 

Итак, из таблицы видно, что формула a , соответствую­щая закону исключенного третьего, из рассмотренных 12 видов отрицания не является тавтологией, или доказуемой формулой, для 10 видов.