Трехзначная система Лукасевнча

Трехзначная пропозициональная логика (логика высказыва­ний) была построена в 1920 г. польским математиком и логи­ком Я. Лукасевичем (1878-1956)'. В ней “истина” обозначает­ся 1, “ложь” - 0, “нейтрально” – 1/2. В качестве основных функ­ций взяты отрицание (Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются мат­рицами (таблицами) так:

Импликация Лукасевича
X \ y		1/2
		1 / 2
1/2		l	1/2
		l

Отрицание Лукасевича

х	Nx
1/2	1/2

[ Nx ] = 1 - [ x ]

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [ Кху ] = min ([ х ], [ у ] ); дизъюнкция - как максимум значений х и у [ Аху ]= таx ([ х ], [ у ] ).

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выражен­ной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке на­писаны значений для х, а сверху - значения для у. Возьмем, напри­мер [ х ] = 1/2 (т. е. значение для х, равное 1/2), а [ у ] = 0, получаем импликацию 1/2→ 0. На пересечении получаем результат 1/2.

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a , то таблица истинности для этой форму­лы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из 3' = 3 строки; при двух переменных в таблице будет 32 = 9 строк; при трех переменных в таблице имеем З3 = 27 строк; при n переменных будет 3 n строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a (закон исключенного третьего) и для (закон непротиворе­чия), содержащих одну переменную, т. е. а. В таблице будет всего 3' = 3 строки.

a		a	a ^
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2

 

Для доказательства формулы a используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, со­ответствующей a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение 1/2. Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х → ( ^ у)) → , содержащая две переменные х и у В таблице будет З2 = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза зна­чение неопределенности (т. е. 1/2), то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъ­юнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) за­кон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отри­цания законов непротиворечия и исключенного третьего дву­значной логики. Поэтому логика Лукасевича не является отрица­нием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре пра­вила де Моргана и правило контрапозиции: а → b → . Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х → ) → и (х → ( ^ у)) → (т. е. если из х вы­текает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).

Таблица 3

x	у			^ y	x →( ^ y)	(x → ( ^у)) →
		0	0	0	0
	1/2		1/2	1/2	1/2	1/2
1/2		1/2			1/2
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2		1/2
1/2		1/2
	1/2		1/2	1/2

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некото­рые формулы разделительно-категорического силлогизма с не­строгой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение 1/2, то в логике

Лукасевича и в двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответст­венно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности –1/2, то не все тавтологии двузначной ло­гики являются тавтологиями в логике Лукасевича.