Сложное суждение и его виды.

Исчисление высказываний

Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

а	b	a^b	aU b	au b	а→b	а = b
И	И	И	И	Л	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	Л	И	И	И	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	И

 

а	a
И	Л
Л	И

Буквы а, b - переменные, обозначающие суждения; буква “И” обозначает истину, а “Л” - ложь.

Таблицу истинности для конъюнкции (а U b) можно разъяс­нить на следующем примере. Учителю дали короткую характе­ристику, состоящую из двух простых суждений: “Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)”. Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же о ложно, или b ложно, или и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т. е. учителю была дана ложная характеристика.

Суждение “Увеличение рентабельности достигается или путем повышения производительности труда (а), или путем снижени себестоимости продукции (b)” - пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказывание или формула с такой дизъ­юнкцией истинна в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

Строгая дизъюнкция (а u b) - та, в которой члены дизъюнк­ции исключают друг друга. Ее можно разъяснить на примере:

“Я поеду на Юг на поезде (а) или полечу туда на самолете (b)”. Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух про­стых суждений истинно, и только одно.

Таблицу для импликации (а > b) можно разъяснить на таком примере: “Если по проводнику пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b)1. Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе - ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропусти­ли электрический ток, т. е. суждение (а) было истинным, а про­водник не нагрелся, т. е. чтобы суждение (b) было ложным.

В таблице эквиваленция (a? b) характеризуется так: а? b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

Отрицание суждения а (т. е. a) характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а - ложно, то. a - истинно.

Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или ложности ее переменных, будет состоять из 23 = 8 строк; при четырех переменных в таблице будет 24 = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 25 = 32 строки; при n переменных 2n строк.

Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, для четырех переменных а, b, с, d) таков: (см. таблицу на стр. 81);

Имеем 24 = 16 строк. В столбце для а сначала пишем 8 раз “И” и 8 раз “Л”. В столбце для b сначала пишем 4 раза “И” и 4 раза “Л”, затем повторяем и т. д.

Тождественно-истинной формулой называется форму­ла, которая при любых комбинациях значений для входя­щих в нее переменных прини­мает значение “истина”. Тож­дественно-ложная формула -та, которая (соответственно) принимает только значение “ложь”. Выполнимая формула может принимать значения как “истина”, так и “ложь”.

а	b	с	d
и	и	и	и
и	и	и	л
и	и	л	и
и	и	л	л
и	л	и	и
и	л	и	л
и	л	л	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	и	и	л
л	и	л	и
л	и	л	л
л	л	и	и
л	л	и	л
л	л	л	и
л	л	л	л

Приведем доказательство тождественной истинности фор­мулы:

а	b	с				b ^ c	a → (b ^ c).	( V )	(a → (b ^ c)) ^ ( V )	((a → (b ^ c)) ^ ( V )) →
и	и	и	л	л	л	и	и	л	л	и
и	и	л	л	л	и	л	л	и	л	и
и	л	и	л	и	л	л	л	и	л	и
и	л	л	л	и	и	л	л	и	л	и
л	и	и	и	л	л	и	и	л	л	и
л	и	л	и	л	и	л	и	и	и	и
л	л	и	и	и	л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	л	и	и	и	и

Так как в последней колонке имеем одни истины, то формула является тождественно-истинной, или законом логики (или, как иногда ее называют, тавтологией).

 

Итак, конъюнкция (а ^ b) истинна тогда, когда оба про­стых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (а u b ) истин­на тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестро­гая дизъюнкция (а v b ) истинна тогда, когда хотя бы одно про­стое суждение истинно. Импликация (а > b ) истинна во всех случаях, кроме одного: когда а - истнно, b - ложно. Эквиваленция (а b) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание () истины дает ложь, и наоборот.

Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противореча­щими друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т. е. не могут быть одновременно истинными и одновременно лож­ными).

Отрицающим являются следующие пары суждений:

 

 

1. А - О. “Все S суть Р” и “Некоторые Sне суть Р”.

2. Е -1. “Ни одно S не суть Р” и “Некото­рое S суть Р”.

3. “Это S суть Р” и “Это S не суть Р”.

Oперацию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отри­цательных суждений. Существует два вида отрицания: внутрен­нее и внешнее. Внутреннее - указывает на несоответствие пре­диката субъекту (связка выражена словами: “не суть”, “не есть”, “не является”). Например: “Некоторые люди не имеют высше­го образования”. Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например: “Неверно, что в Москве протекает река Нева”.

Отрицание сложных суждении

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в сво­ем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т. е. конъюнкцию на дизъ­юнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его.

Имеем:

Эти четыре формулы называются законами де Моргана. При­менив их, получим:

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необхо­димо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъ­юнкцией), а именно:

затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например: “Если я буду иметь свободное время (а), то буду вя­зать (b) или посмотрю телевизор (с)”. Формула этого сложного суждения:

Противоречащее суждение будет:

 

Оно читается так: “У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор”.

Исчисление высказываний

I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а1,а2,... Эти символы называются переменными высказываниями, или про­позициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины:—, ^, , u, →?. Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.

3. Скобки: ().

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с...).

2. Если А и В есть ППФ, то , (А ^ В), (А В), (A u В), (А =B) и (А → В) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не явля­ются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: (а ^ b; а-b; ^ а; а →b; а ^ b; а b. Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на осно­вании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкой → всегда сопровождается заключением в скобки; то же са­мое можно сказать и о двух последних словах.

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем →. В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b) → (с ^ d ) будем писать в виде а v b→с ^ d.

Однако не всякая формула может быть записана без упот­ребления скобок. Например, в формулах а → (b → с), а ^ (b→с) исключение скобок невозможно.

Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “•” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.